1.3.1等比数列及其通项公式（2知识点+6题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（湘教版2019选择性必修第一册）

1.3.1 等比数列及其通项公式 课程标准 学习目标 （1）通过生活中的实例, 理解等比数列的概念和通项公式的意义; （2）能在具体的问题情境中, 发现数列的等比关系, 并解决相应的问题。 （1）掌握等比数列的概念，会证明某数列是等比数列; （2）掌握等比数列的通项公式，会求某等比数列通项公式.（难点) （3）利用等比数列解决实际生活问题。 知识点01 等比数列的概念 如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，记为. 代数形式：是常数， 或 是常数， 解析 (1) 公比是每一项与它的前一项的比，常数指的是与无关; (2)等比数列中(否则数列会出现,不可能符合等边数列定义)； (3) 是公比为的等比数列； 是公比为的等比数列； 不是等比数列. 【即学即练1】已知均为等比数列，则下列各项中不一定为等比数列的是（   ） A． B． C． D． 知识点02 等差数列的通项公式 等比数列的首项为，公比为，则.(由定义与累乘法可得) 解析 (1)证明 由等比数列的定义可得，， 所以, , ,…, 把以上个等式累乘可得,即, 当时，，即当时上式也成立， 故. 以上的方法称之为累乘法. (2) 通项公式告诉你：已知等比数列的首项与公比可求得任何一项 (3)等比数列的通项公式可整理为,当，且时，可以看成的指数函数型函数.比如等比数列的各点都在指数函数上. (4)偶数项的正负、奇数项的正负相同(,故同号，即偶数项的正负相同；奇数项同理). 【即学即练2】 已知等比数列的前三项和为13，，则（   ） A．81 B．243 C．27 D．729 【题型一：由定义判定等比数列】 例1．已知数列是等比数列，则下列数列一定是等比数列的是（    ） A． B． C． D． 变式1-1．设命题：数列是等比数列，命题：数列和均为等比数列，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 变式1-2．等差数列的前项和为，且，数列为等比数列，则下列说法错误的选项是（    ） A．数列一定是等比数列 B．数列一定是等比数列 C．数列一定是等差数列 D．数列一定是等比数列 【方法技巧与总结】 证明某数列是等比数列，可采取定义法，只需要证明是常数，；若是选择题，判断某数列是等比数列，可以采取排除法：举特例. 【题型二：由递推公式证明等比数列】 例2．已知数列满足，，则下列是等比数列的是（   ） A． B． C． D． 变式2-1．已知数列满足，则“ ”是“ 是等比数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 变式2-2．在数列中，．若命题，命题是等比数列，则p是q的（    ）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 【方法技巧与总结】 要由递推公式证明某数列是等比数列，常见的方法也是采取定义法. 【题型三：求等比数列的通项公式】 例3．若等比数列的各项均为正数，且成等差数列，则（    ） A．3 B．6 C．9 D．18 变式3-1．设是等比数列的前三项，则（    ） A． B． C． D． 变式3-2．等比数列中，，，，则（    ） A． B． C． D． 变式3-3．已知数列满足，，数列是公比为2的等比数列，则（   ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 要求等比数列的通项公式，首先要确定数列是等比数列，由通项公式求出基本量首项和公比便可. 【题型四：等比数列通项公式的基本量计算】 例4．在各项均为正数的等比数列中，，，成等差数列，若，则（    ） A．14 B．28 C．42 D．56 变式4-1．在等比数列中，，，则（    ） A． B． C．1 D．4 变式4-2．已知是正项等比数列，若成等差数列，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 变式4-3．数列的前n项和满足，若，则的值是（    ） A． B． C．6 D．7 【方法技巧与总结】 求等比数列的基本量，往往采取列方程组的方法求出首项和公比便可，后面学了等比数列的性质还有更简便的方法. 【题型五：实际问题中的等比数列】 例5．南宋数学家杨辉在《详解九章算术》中提出了高阶等差数列的问题，即一个数列本身不是等差数列，但从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列，则称数列为一阶等差数列，或者仍旧不是等差数列，但从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列，则称数列为二阶等差数列，依次类推，可以得到高阶等差数列．类比高阶等差数列的定义，我们亦可定义高阶等比数列，设数列1，1，2，8，64，……是一阶等比数列，则该数列的第10项是（   ） A． B． C． D． 变式5-1．折纸是一种用纸张折成各种不同形状的艺术活动，起源于中国，其历史可追溯到公元583年.在一次数学实践课上某同学将一张腰长为1的等腰直角三角形纸对折，每次对折后仍成等腰直角三角形，则对折6次后得到的等腰直角三角形斜边长为（    ） A． B． C． D． 变式5-2．分形的数学之美，是以简单的基本图形，凝聚扩散，重复累加，以迭代的方式而形成的美丽的图案.自然界中存在着许多令人震撼的天然分形图案，如鹦鹉螺的壳、蕨类植物的叶子、孔雀的羽毛、菠萝等.如图所示，为正方形经过多次自相似迭代形成的分形图形，且相邻的两个正方形的对应边所成的角为15°.若从外往里最大的正方形边长为9，则第3个正方形的边长为（    ）    A．4 B． C．6 D． 【方法技巧与总结】 在实际问题中，理解题意是关键，能在题中提炼出等比数列的有效信息，把自然语言化为等比数列的符号语言，把实际问题转化为求等比数列基本量的问题求解. 【题型六：等比数列通项公式综合运用】 例6．设数列的前项和为．已知，且． (1)求数列的通项公式； (2)若是公比为4的等比数列，且，，也是等比数列．设，若数列是严格减数列，求的取值范围． 变式6-1．已知等比数列满足，且，则的最大值为（    ） A．12 B．13 C．14 D．15 变式6-2．正项数列中，（为实数），若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式6-3．设数列的前项和为，且.若对任意的正整数，都有成立，则满足等式的所有正整数为（    ） A．1或3 B．2或3 C．1或4 D．2或4 变式6-4．已知数列满足，. (1)证明：数列为等比数列； (2)在与之间插入个数，使得这个数组成公差为的等差数列，求. 变式6-5．在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“和扩充”．如数列1，2第1次“和扩充”后得到数列1，3，2，第2次“和扩充”后得到数列1，4，3，5，2．设数列a，b，c经过第n次“和扩充”后所得数列的项数记为，所有项的和记为． (1)求； (2)若，求n的最小值； (3)是否存在实数，使得数列为等比数列？若存在，求出满足的条件；若不存在，说明理由． 一、单选题 1．已知正项等比数列，，当取最小值时，数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 2.在递增的等比数列中，，是方程的两根，则（   ） A．4 B．12 C．24 D．12或24 3.在高层建筑中，为了优化建筑结构，减少风荷载影响，设计师可能会将建筑设计成底面楼层高度比较高，随着楼层往上逐步按照等比数列递减的“金字塔”形状，已知某高层建筑共10层，第2层高度为，第层高度记为，是公比为的等比数列，若第层高度小于，则的最小值为（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 4.数列的前项和为，若，，则（    ） A． B． C． D． 5.已知等比数列是递减数列，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6.设为等差数列的前n项和，已知、、成等比数列，，当取得最大值时，（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 7.在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得新数列按照同样的方法进行构造，可以不断形成新的数列．现对数列1，2进行构造，第1次得到数列1，3，2；第2次得到数列1，4，3，5，2；…依次构造，记第n（）次得到的数列的所有项之和为，则（    ） A．1095 B．3282 C．6294 D．9843 8.已知公比为负数的等比数列的前项积为，且，记的最大值为，最小值为，则（    ） A．4 B．32 C．16 D．8 二、多选题 9．已知等差数列的前项和为，等比数列的前项积为，则（    ） A．不可能为等比数列 B．可能为等差数列 C．是等差数列 D．是等比数列 10.在数列中，已知．当时，满足，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．是等比数列 D． 11.已知数列，满足，且，则（    ） A． B．当时，是等比数列 C．当时，是等差数列 D．当时，是递增数列 三、填空题 12．公差大于零的等差数列中，，，成等比数列，若，则 . 13.已知数列满足，，，单调递增，则的取值范围为 . 14.已知某种细菌培养过程中，每小时1个正常细菌分裂成2个正常细菌和1个非正常细菌），1个非正常细菌分裂成2个非正常细菌.则1个正常细菌经过8小时的培养，可分裂成的细菌的个数为 （用数字作答）. 四、解答题 15．已知等比数列的公比，且，． (1)求的通项公式； (2)若数列满足，且是严格增数列，求实数的取值范围． 16.已知数列的首项，且满足（）． (1)求证：数列为等比数列； (2)记，求数列的前项和，并证明． 17.已知公比大于1的等比数列满足，且、、成等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)记为在区间（m为正整数）中的项的个数，求数列的前30项和． 18.已知数列的前项和为，且. (1)求证：数列是等比数列； (2)设，若是递增数列，求实数的范围. 19．对于给定的正整数，若对任意的正整数，数列均满足，且，则称数列是“数列”． (1)证明：各项均为正数的等比数列是“数列”． (2)已知数列既是“数列”，又是“（3）数列”． ①证明：数列是等比数列． ②设数列的前项和为，若，，问：是否存在正整数，使得？若存在，求出所有的；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.3.1 等比数列及其通项公式 课程标准 学习目标 （1）通过生活中的实例, 理解等比数列的概念和通项公式的意义; （2）能在具体的问题情境中, 发现数列的等比关系, 并解决相应的问题。 （1）掌握等比数列的概念，会证明某数列是等比数列; （2）掌握等比数列的通项公式，会求某等比数列通项公式.（难点) （3）利用等比数列解决实际生活问题。 知识点01 等比数列的概念 如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，记为. 代数形式：是常数， 或 是常数， 解析 (1) 公比是每一项与它的前一项的比，常数指的是与无关; (2)等比数列中(否则数列会出现,不可能符合等边数列定义)； (3) 是公比为的等比数列； 是公比为的等比数列； 不是等比数列. 【即学即练1】已知均为等比数列，则下列各项中不一定为等比数列的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等比数列的性质直接求解即可. 【详解】设的公比为，的公比为， 对于A，令，则， 显然不是等比数列； 对于B，，故是等比数列； 对于C，，故是等比数列； 对于D，，故是等比数列. 故选：A. 知识点02 等差数列的通项公式 等比数列的首项为，公比为，则.(由定义与累乘法可得) 解析 (1)证明 由等比数列的定义可得，， 所以, , ,…, 把以上个等式累乘可得,即, 当时，，即当时上式也成立， 故. 以上的方法称之为累乘法. (2) 通项公式告诉你：已知等比数列的首项与公比可求得任何一项 (3)等比数列的通项公式可整理为,当，且时，可以看成的指数函数型函数.比如等比数列的各点都在指数函数上. (4)偶数项的正负、奇数项的正负相同(,故同号，即偶数项的正负相同；奇数项同理). 【即学即练2】 已知等比数列的前三项和为13，，则（   ） A．81 B．243 C．27 D．729 【答案】B 【分析】根据给定条件，列式求出等比数列首项和公比即可得解. 【详解】设等比数列的公比为， 由，得，解得， 由的前三项和为13，得，解得， 因此等比数列的通项，所以. 故选：B 【题型一：由定义判定等比数列】 例1．已知数列是等比数列，则下列数列一定是等比数列的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于AD：根据等比数列的定义分析判断；对于BC：举例说明即可. 【详解】设等比数列的公比为， 对于选项A：因为不是定值，故A不是等比数列，故A错误； 对于选项BC：例如，则， 所以，均不是等比数列，故BC错误； 对于选项D：因为， 且， 所以是等比数列，故D正确； 故选：D. 变式1-1．设命题：数列是等比数列，命题：数列和均为等比数列，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件、必要条件的定义、等比数列的定义计算可得. 【详解】设数列的公比为， 因为数列是等比数列，所以， 所以，所以数列为等比数列； 所以，所以数列为等比数列； 故是的充分条件； 若数列，明显数列和均为等比数列， 但，，所以数列不是等比数列； 故是的不必要条件； 故是的充分不必要条件. 故选：A 变式1-2．等差数列的前项和为，且，数列为等比数列，则下列说法错误的选项是（    ） A．数列一定是等比数列 B．数列一定是等比数列 C．数列一定是等差数列 D．数列一定是等比数列 【答案】D 【分析】利用等差、等比数列的定义判断A、B、C，特殊值判断D，即可得结果. 【详解】因为数列是等差数列，设其通项公式为， 所以是定值，所以数列一定是等比数列，选项正确; 因为数列为等比数列，设其通项公式为， 所以是定值， 所以数列一定是等比数列，选项正确; 因为，所以， 所以数列一定是等差数列，选项正确; 当时，，则不是等比数列，选项错误， 故选:. 【方法技巧与总结】 证明某数列是等比数列，可采取定义法，只需要证明是常数，；若是选择题，判断某数列是等比数列，可以采取排除法：举特例. 【题型二：由递推公式证明等比数列】 例2．已知数列满足，，则下列是等比数列的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由数列的递推式，计算前四项，由等比数列的性质可判断；由数列的递推式推得，可判断． 【详解】由，，， 可得，即，解得， 又，即，解得， 由，，，，故A错误； 由，，，，故B错误； 由，，，，故C错误； 由，可得， 即为，又， 可得是首项为3，公比为的等比数列，故D正确． 故选：D. 变式2-1．已知数列满足，则“ ”是“ 是等比数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据充分必要条件的证明方法，结合等比数列的定义与数列递推式即可得解. 【详解】当时，因为，所以， 又，则，则， 依次类推可知，故， 则是首项为，公比为的等比数列，即充分性成立； 当是等比数列时，因为，所以， 当时，，则是公比为的等比数列， 所以，即， 则，，， 由，得，解得，不满足题意； 当，即时，易知满足题意； 所以，即必要性成立. 故选：C. 变式2-2．在数列中，．若命题，命题是等比数列，则p是q的（    ）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【分析】根据充分性和必要性分别考虑即可. 【详解】充分性：若，得， 则数列是以为首项，为公比的等比数列；则能推出； 必要性：若是等比数列，则，则， 则为不为的常数，故不能推出,必要性不成立， 所以p是q的充分不必要条件. 故选：A 【方法技巧与总结】 要由递推公式证明某数列是等比数列，常见的方法也是采取定义法. 【题型三：求等比数列的通项公式】 例3．若等比数列的各项均为正数，且成等差数列，则（    ） A．3 B．6 C．9 D．18 【答案】C 【分析】先根据等比数列部分项成等差得出公比，再结合等比数列通项求值即可. 【详解】若等比数列的各项均为正数，所以公比， 且成等差数列，可得, 即得 可得， . 故选：C. 变式3-1．设是等比数列的前三项，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用等比数列的通项公式即可得出. 【详解】因为是等比数列的前三项，所以，解得：，，则公比，所以 故选：A 变式3-2．等比数列中，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意等比数列的性质可得公比，且由可得，从而可求解. 【详解】由题意知数列为等比数列，设公比为，由，得，解得， 因为，即，即，所以，又因为，所以， 所以，故B正确. 故选：B. 变式3-3．已知数列满足，，数列是公比为2的等比数列，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，由等比数列的通项公式可得，然后令，可得数列是以为首项，以为公比的等比数列，结合等比数列的通项公式即可求得数列的通项公式，从而得到结果. 【详解】因为，，则， 且数列是公比为2的等比数列， 则，两边同除可得， 令，则，即， 即，且， 所以数列是以为首项，以为公比的等比数列， 则，则， 即，所以. 故选：C 【方法技巧与总结】 要求等比数列的通项公式，首先要确定数列是等比数列，由通项公式求出基本量首项和公比便可. 【题型四：等比数列通项公式的基本量计算】 例4．在各项均为正数的等比数列中，，，成等差数列，若，则（    ） A．14 B．28 C．42 D．56 【答案】B 【分析】由等差中项的性质可得，再由等比数列的性质可求出，即可得出答案. 【详解】设等比数列的公比为，有， 由，，成等差数列可知， 即，解方程可得（舍去）， 则. 故选：B. 变式4-1．在等比数列中，，，则（    ） A． B． C．1 D．4 【答案】B 【分析】根据题意结合等比数列通项公式列式求，进而可得结果. 【详解】设等比数列的公比为q， 由题意可得：，解得， 所以． 故选：B. 变式4-2．已知是正项等比数列，若成等差数列，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】根据等差中项结合等比数列通项公式求得，再结合对数运算分析求解. 【详解】设等比数列的公比为. 因为成等差数列，可得，即， 整理可得，解得或（舍去）. 所以. 故选：D. 变式4-3．数列的前n项和满足，若，则的值是（    ） A． B． C．6 D．7 【答案】B 【分析】由已知结合化简变形可得数列是以2为首项，为公比的等比数列，从而可求出，进而可求出答案. 【详解】因为，所以， 所以， 所以， 因为，，所以，得， 所以数列是以2为首项，为公比的等比数列， 所以， 所以. 故选：B 【方法技巧与总结】 求等比数列的基本量，往往采取列方程组的方法求出首项和公比便可，后面学了等比数列的性质还有更简便的方法. 【题型五：实际问题中的等比数列】 例5．南宋数学家杨辉在《详解九章算术》中提出了高阶等差数列的问题，即一个数列本身不是等差数列，但从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列，则称数列为一阶等差数列，或者仍旧不是等差数列，但从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列，则称数列为二阶等差数列，依次类推，可以得到高阶等差数列．类比高阶等差数列的定义，我们亦可定义高阶等比数列，设数列1，1，2，8，64，……是一阶等比数列，则该数列的第10项是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，为等比数列，求得，利用累乘法可求得，进而求得答案． 【详解】设数列为，且为一阶等比数列， 设，所以为等比数列，其中，，公比， ， 则，， . 故选：D. 变式5-1．折纸是一种用纸张折成各种不同形状的艺术活动，起源于中国，其历史可追溯到公元583年.在一次数学实践课上某同学将一张腰长为1的等腰直角三角形纸对折，每次对折后仍成等腰直角三角形，则对折6次后得到的等腰直角三角形斜边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意分析，从第2次开始，每次对折后得到的等腰直角三角形斜边长，构成一个首项为1，公比为的等比数列，运用等比数列基本量运算即得. 【详解】对折一次得到的等腰直角三角形斜边长为1，对折2次得到的等腰直角三角形斜边长为， 对折3次得到的等腰直角三角形斜边长为，， 故对折6次后得到的等腰直角三角形斜边长为. 故选：A. 变式5-2．分形的数学之美，是以简单的基本图形，凝聚扩散，重复累加，以迭代的方式而形成的美丽的图案.自然界中存在着许多令人震撼的天然分形图案，如鹦鹉螺的壳、蕨类植物的叶子、孔雀的羽毛、菠萝等.如图所示，为正方形经过多次自相似迭代形成的分形图形，且相邻的两个正方形的对应边所成的角为15°.若从外往里最大的正方形边长为9，则第3个正方形的边长为（    ）    A．4 B． C．6 D． 【答案】C 【分析】设第个正方形的边长为，根据分形特点可得是以9为首项，为公比的等比数列，从而可得第3个正方形的边长. 【详解】解：设第个正方形的边长为， 则由已知可得， ∴， ∴是以9为首项，为公比的等比数列， ∴. 故选：C. 【方法技巧与总结】 在实际问题中，理解题意是关键，能在题中提炼出等比数列的有效信息，把自然语言化为等比数列的符号语言，把实际问题转化为求等比数列基本量的问题求解. 【题型六：等比数列通项公式综合运用】 例6．设数列的前项和为．已知，且． (1)求数列的通项公式； (2)若是公比为4的等比数列，且，，也是等比数列．设，若数列是严格减数列，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由将转化成即可根据等差数列定义和通项公式求解，进而得解. （2）由已知条件可求出，进而得，根据数列是严格减数列，则即可求解. 【详解】（1）因为， 故即， 所以当时， 左右两边除以有， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以， 故由得， （2）由（1）以及题意得， 即，， 所以，故， 因为数列是严格减数列， 所以， 所以，即， 故，即的取值范围为. 变式6-1．已知等比数列满足，且，则的最大值为（    ） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】D 【分析】设出公比，根据题目条件求出公比和首项，得到通项公式，并得到当时，，当时，1，当时，，从而求出最大值. 【详解】设等比数列的公比为，由 ，得，即， 又，得 ，得，所以， 所以 ． 易知当时，，当时，1，当时，． 令，则 ，， 故．， 从而 ． 故选：D． 变式6-2．正项数列中，（为实数），若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据递推公式，求出，然后化简，令，得到关于的一个函数，根据函数的性质求其取值即可求解. 【详解】因为，且，所以且为等比数列，公比为， 因为，所以， 所以， 所以 令，当且仅当时取等号， 化简可得， 令，因为，所以， 所以，所以， 所以的取值范围是． 故选：A． 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是根据等比数列的通项公式将式子转化为关于的式子，再利用换元法求出目标式子的取值范围. 变式6-3．设数列的前项和为，且.若对任意的正整数，都有成立，则满足等式的所有正整数为（    ） A．1或3 B．2或3 C．1或4 D．2或4 【答案】A 【分析】根据与的关系，求出，则①，又②，②－①×3得，得，进而求出，由题意得，记，研究的单调性，求出的解即可． 【详解】， 时，， 相减可得：，即 又时，，解得，满足， 数列是首项为1，公比为3的等比数列，所以． 对任意正整数n，都有成立， 得①， 又②， ②－①×3得：， 又，所以，得， 进而， 由，得，即， 记，则， 以下证明时，， 因为， 即时，单调递减，， 综上可得，满足等式的所有正整数的取值为1或3． 故选：A． 【点睛】关键点睛：涉及数列的单调性以及数列的最大项和最小项问题，综合性较强，难度较大，解答时要结合几何知识，能熟练的应用数列的相关知识作答，关键是要注意构造新数列解决问题. 变式6-4．已知数列满足，. (1)证明：数列为等比数列； (2)在与之间插入个数，使得这个数组成公差为的等差数列，求. 【答案】(1)证明见解析 (2)39 【分析】（1）分析可得，结合等比数列的定义分析证明； （2）由（1）可得，结合等差数列的性质列式求解. 【详解】（1）因为，则， 且，可得， 所以是以3为首项，3为公比的等比数列； （2）由（1）可得：，则， 由题意可得：，， 即，解得，所以的值为39. 变式6-5．在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“和扩充”．如数列1，2第1次“和扩充”后得到数列1，3，2，第2次“和扩充”后得到数列1，4，3，5，2．设数列a，b，c经过第n次“和扩充”后所得数列的项数记为，所有项的和记为． (1)求； (2)若，求n的最小值； (3)是否存在实数，使得数列为等比数列？若存在，求出满足的条件；若不存在，说明理由． 【答案】(1)； (2)10 (3)存在；，且，或，且 【分析】（1）根据题中“和扩充”的定义分析统计即得； （2）先判断为等比数列，求出其通项，再求解不等式即得； （3）根据等比数列的定义和性质进行求解即可． 【详解】（1）原数列有3项，经第1次“和扩充”后的项数； 经第2次“和扩充”后的项数； （2）数列的每一次“和扩充”是在原数列的相邻两项中增加一项， 设数列经第n次“和扩充”后的项数为，则经第次“和扩充”后增加的项数为， 则，则， 由（1）得，则数列是首项为4，公比为2的等比数列， 则，即， 由可得，因，解得， 所以n的最小值为10； （3）设第次“和扩充”后数列的各项为， 所以， 因为数列每一次“和扩充”是在原数列的相邻两项中增加这两项的和， 所以， 即， 所以，即有（*）， 因，则， 由（*）知，要使数列为等比数列，需使(Ⅰ) ，或(Ⅱ) ， 由(Ⅰ)解得，，且；由(Ⅱ)解得，，且. 故存在满足的条件为，且，或，且. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查数列的新定义问题，属于难题. 解题的关键在于充分理解“和扩充”的含义，求出相应的数列递推式，构造等比数列，利用等比数列的定义、通项与求和公式等性质推理解题. 一、单选题 1．已知正项等比数列，，当取最小值时，数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等比数列的通项公式，结合基本不等式进行求解即可 【详解】设正项等比数列的公比为， 因为，则，且， 所以，又， 因为， 当且仅当即时，等号成立，此时， 所以数列的通项公式为． 故选：B 2.在递增的等比数列中，，是方程的两根，则（   ） A．4 B．12 C．24 D．12或24 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的根，结合等比数列的性质即可求解，，进而可得公比，由等比数列基本量的计算即可求解. 【详解】的两个根为，， 设数列的公比为，由已知， 由于，是方程的两根，且等比数列是递增数列， 所以，，所以，所以， 所以，，． 故选：B． 3.在高层建筑中，为了优化建筑结构，减少风荷载影响，设计师可能会将建筑设计成底面楼层高度比较高，随着楼层往上逐步按照等比数列递减的“金字塔”形状，已知某高层建筑共10层，第2层高度为，第层高度记为，是公比为的等比数列，若第层高度小于，则的最小值为（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【分析】求出通项公式后，再解参数范围即可. 【详解】由题意得，， 则，故， 由题意得，解得， 即的最小值是4. 故选：C. 4.数列的前项和为，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由条件可得，然后即可求出，再求出即可. 【详解】因为， 所以. 而，所以是首项和公比都为的等比数列， 所以，故. 故选：B. 5.已知等比数列是递减数列，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由等比数列时递减数列，确定公比，且，故；再根据等比数列的性质得到，最后解一元二次不等式组求出结果即可. 【详解】等比数列是递减数列，且，故，且公比， 由得， 故， 所以的取值范围是. 故选：A. 6.设为等差数列的前n项和，已知、、成等比数列，，当取得最大值时，（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】根据给定条件，求出等差数列的公差及首项，再借助通项公式及前n项和公式求出，进而求得答案. 【详解】设等差数列的公差为，由，得，解得， 由、、成等比数列，得，解得， 因此， 则，当且仅当时取等号， 所以. 故选：A 7.在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得新数列按照同样的方法进行构造，可以不断形成新的数列．现对数列1，2进行构造，第1次得到数列1，3，2；第2次得到数列1，4，3，5，2；…依次构造，记第n（）次得到的数列的所有项之和为，则（    ） A．1095 B．3282 C．6294 D．9843 【答案】B 【分析】根据给定条件，得到第次构造后数列的和与第次构造后数列的和的关系，再求出数列的通项即可. 【详解】设第次构造后得的数列为，则， 则第次构造后得到的数列为， 于是，， 显然，而， 因此数列是以为首项，3为公比的等比数列， 则，即, 所以. 故选：B 【点睛】关键点睛：涉及数列新定义问题，关键是正确理解给出的定义，由给定的数列结合新定义探求数列的相关性质，并进行合理的计算、分析、推理等方法综合解决. 8.已知公比为负数的等比数列的前项积为，且，记的最大值为，最小值为，则（    ） A．4 B．32 C．16 D．8 【答案】D 【分析】根据，，可得等比数列的通项公式，再由和，解不等式，从而分析得到的最大项为，即可求出和，从而得到答案. 【详解】记等比数列的公比为，则， 则，得，所以， 所以，由，得． 由，得，所以，且， 故的最大项为， 所以，，故． 故选：D 二、多选题 9．已知等差数列的前项和为，等比数列的前项积为，则（    ） A．不可能为等比数列 B．可能为等差数列 C．是等差数列 D．是等比数列 【答案】BC 【分析】根据题意，结合常数列的特例，以及等差、等比数列的通项公式和求和公式，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，当为常数列，且时，因为是等比数列，所以为等比数列，所以A错误． 对于B中，当为常数列时，因为为等差数列，所以为等差数列，所以B正确． 对于C中，设的公差为，则，可得， 因为，所以数列是等差数列，所以C正确． 对于D中，设的公比为，则， 当时，不是常数，所以不是等比数列，所以D错误． 故选：BC． 10.在数列中，已知．当时，满足，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．是等比数列 D． 【答案】AC 【分析】根据给定的递推公式，计算判断A；计算得，再依次计算判断BCD即得. 【详解】对于A，在数列中，， 则，而，解得，A正确； 对于B，由，得，两式相除得，则， ，，B错误； 对于C，数列是以为首项，3为公比的等比数列，，C正确； 对于D，数列是以为首项，3为公比的等比数列，，因此，D错误. 故选：AC 11.已知数列，满足，且，则（    ） A． B．当时，是等比数列 C．当时，是等差数列 D．当时，是递增数列 【答案】BCD 【分析】对于A，直接由已知得到，即可说明A错误；对于B，证明，结合即可验证；对于C，说明即可；对于D，验证，再利用即可验证. 【详解】对于A，由已知有，故A错误； 对于B，当时，由于，且，故是等比数列，故B正确； 对于C，当时，由，归纳即知. 所以，从而，故是等差数列，故C正确； 对于D，当时，由于，故. 所以，从而是递增数列，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题 12．公差大于零的等差数列中，，，成等比数列，若，则 . 【答案】 【分析】首先由条件得到，再根据等差数列的通项公式，转化为关于公差的方程，即可求解. 【详解】设数列的公差为， 由，得，且， 所以，得， 得或（舍）， 所以. 故答案为： 13.已知数列满足，，，单调递增，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据可得，再结合单调递增以及等比数列定义可求出，则由即可得解. 【详解】因为，所以， 又因为单调递增，所以， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 所以即， 则的取值范围为， 故答案为：. 14.已知某种细菌培养过程中，每小时1个正常细菌分裂成2个正常细菌和1个非正常细菌），1个非正常细菌分裂成2个非正常细菌.则1个正常细菌经过8小时的培养，可分裂成的细菌的个数为 （用数字作答）. 【答案】 【分析】设经过小时，有个正常细菌，个非正常细菌，则，，由等比数列的性质求出的通项公式，再证得是与首相和公差均为的等差数列，即可求出的通项公式，进而求出答案. 【详解】设经过小时，有个正常细菌，个非正常细菌， 则，. 又，，所以，， 则，所以， 所以是首项和公差均为的等差数列， 所以， 所以，所以， 即1个正常细菌经过8小时的培养，可分裂成个细菌. 故答案为：. 四、解答题 15．已知等比数列的公比，且，． (1)求的通项公式； (2)若数列满足，且是严格增数列，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等比数列通项公式的基本量进行运算即可； （2）是严格增数列，利用恒成立即可求解. 【详解】（1）因为数列是等比数列，且，所以或2， 若，，则与矛盾，舍去， 若，，则，，满足题意， 所以． （2）因为，是严格增数列， 所以对于任意正整数n都成立， ， 即对于任意正整数n都成立，所以， 因为在上严格递减， 所以当时，最大，最大值为， 所以的取值范围是. 16.已知数列的首项，且满足（）． (1)求证：数列为等比数列； (2)记，求数列的前项和，并证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)，证明见解析 【分析】（1）由等比数列的定义即可求证， （2）由裂项相消法求和，即可求解,根据单调性，即可求证. 【详解】（1）由得， 又，所以是首项为2，公比为2的等比数列． （2）由（1）知，，所以 所以， 当时，单调递增，故． 17.已知公比大于1的等比数列满足，且、、成等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)记为在区间（m为正整数）中的项的个数，求数列的前30项和． 【答案】(1) (2)94 【分析】（1）利用基本元的思想，将已知条件转化为的形式，求解出，由此求得数列的通项公式. （2）通过分析数列的规律，由此求得数列的前30项和. 【详解】（1）令公比大于1的等比数列的公比为q，由题意得 解得，所以； （2）由于，所以 对应的区间为，则； 对应的区间分别为，则，即有2个1； 对应的区间分别为，则，即有个2； 对应的区间分别为，则，即有个3； 对应的区间分别为，则，即有个4； . 18.已知数列的前项和为，且. (1)求证：数列是等比数列； (2)设，若是递增数列，求实数的范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用及已知条件得到递推式，然后证明并验证首项非零即可； （2）求出，并将命题转化为恒成立，然后取即得到，再证明时不等式恒成立. 【详解】（1）由知，得. 由已知有， 故，得. 而，故数列是首项为，公比为的等比数列. （2）根据（1）的结论有，即. 那么就有. 命题等价于恒成立，即. 此即，化简得到. 从而要求的取值范围使得恒成立. 一方面，对该不等式取可得到，即； 另一方面，若，则，， 故我们恒有，即. 所以的取值范围是. 19．对于给定的正整数，若对任意的正整数，数列均满足，且，则称数列是“数列”． (1)证明：各项均为正数的等比数列是“数列”． (2)已知数列既是“数列”，又是“（3）数列”． ①证明：数列是等比数列． ②设数列的前项和为，若，，问：是否存在正整数，使得？若存在，求出所有的；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)①证明见解析；②存在，， 【分析】（1）根据题意，由等比数列的性质，结合“数列”的定义即可证明； （2）①根据题意，结合“数列”的定义，再由等比数列的定义即可证明；②假设存在，即可得到，然后分为奇数与为偶数分别讨论，代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）因为是等比数列，所以， 所以， 因此各项均为正数的等比数列是“数列”． （2）①数列既是“（2）数列”，又是“（3）数列”， 因此当时，（ⅰ）， 当时，（ⅱ）， 由（ⅰ）知，当时，（ⅲ）， （ⅳ）， 将（ⅲ）（ⅳ）代入（ⅱ），得，其中， 所以是等比数列，设其公比为， 在（ⅰ）中，取，则，所以， 在（ⅰ）中，取，则，所以， 所以数列是等比数列． ②由①及，知 所以．易知，所以． 所以，． 假设存在正整数，使得，即，即． 当为奇数时，， 设，，则， 所以， 可得，所以， 所以， 所以存在，使得． 当为偶数时，， 若为偶数，则为奇数，所以． 若为奇数，则，（提示：时，不成立） 为偶数，为个奇数之和，也为奇数，所以． （提示：一个偶数与一个大于1的奇数的乘积一定不等于） 所以当为偶数时，不存在正整数，使得． 综上所述，存在，，，使得． 【点睛】关键点睛：本题主要考查了等比数列的定义以及数列新定义问题，难度较大，解答本题的关键在于理解“数列”的定义，然后结合数列的知识解答. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$