1.2.2 等差数列与一次函数-【金版教程】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册导学案课件PPT（湘教版）

1．2　等差数列 1.2.2　等差数列与一次函数 第1章　数列 课程标准：1.体会等差数列与一次函数的关系.2.理解等差数列的性质.3.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题． 教学重点：1.等差数列与一次函数的关系.2.等差数列的性质及其应用． 教学难点：等差数列性质的应用． 核心素养：1.通过学习等差数列的性质解决等差数列问题，培养逻辑推理素养和数学运算素养.2.通过利用等差数列解决实际问题，提升数学建模素养. 1 核心概念掌握 PART ONE 公差d 递增 递减 (n－m)d d cd 2d 等差数列 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在等差数列{an}中，若m＋n＝r，m，n，r∈N＋，则am＋an＝ar.(　　) (2)已知数列{an}的通项公式为an＝pn＋q，其中p，q为常数，且p≠0，那么{an}是等差数列．(　　) (3)若等差数列的公差小于0，则此数列是递减数列．(　　) × √ √ 答案 －5 7 2 核心素养形成 PART TWO 例1　已知(2,1)，(4，－3)是等差数列{an}的图象上的两点． (1)求数列{an}的通项公式； (2)画出数列{an}的图象； (3)判断数列{an}的单调性． 解 题型一 等差数列与一次函数 (2)等差数列{an}的图象是均匀分布在直线y＝－2x＋5上的一系列孤立点，如图所示． (3)因为公差d＝－2<0，所以等差数列{an}为递减数列． 解 等差数列与函数的关系 等差数列{an}的图象为分布于一条直线上的一系列孤立点，结合函数的单调性可知，d>0时，{an}为递增数列；d<0时，{an}为递减数列；d＝0时，{an}为常数列． 解 [跟踪训练1]　已知(2，－1)，(5,8)是等差数列{an}的图象上的两点． (1)求数列{an}的通项公式； (2)画出数列{an}的图象； (3)判断数列{an}的单调性． (2)等差数列{an}的图象是均匀分布在直线y＝3x－7上的一系列孤立点，如图所示． (3)因为公差d＝3>0，所以等差数列{an}为递增数列. 解 例2　已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，且a15＝8，a60＝20，求a75. 解 题型二 等差数列性质的应用 解 (1)应用等差数列的通项公式的变形公式an＝am＋(n－m)d可以方便地求出d，从而写出通项公式． (2)在等差数列中每隔相同的项选出一项，按原来顺序排成一列，仍然是一个等差数列． [跟踪训练2]　等差数列{an}中，若a7＝m，a14＝n，则a21＝________. 答案　2n－m 答案 解析 例3　等差数列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，则2a9－a10的值是(　　) A．20 B．22 C．24 D．－8 [解析]　解法一：由a1＋3a8＋a15＝120，可得5a1＋35d＝120，即a1＋7d＝24，又2a9－a10＝a1＋7d，所以2a9－a10＝24. 解法二：因为a1＋3a8＋a15＝5a8＝120，所以a8＝24，所以2a9－a10＝a10＋a8－a10＝a8＝24. 答案 解析 解 [变式探究]　若本例中条件不变，则a3＋a13的值又如何求解？ 解　由例题解知，a8＝24，由等差数列的性质知a3＋a13＝2a8＝48. 等差数列性质的应用技巧 (1)适用情景 已知等差数列的两项和，求其余几项和或者求其中某项． (2)常用性质 利用已知m，n，p，q，r∈N＋，若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq或若m＋n＝2r，则am＋an＝2ar将题目条件转化． [跟踪训练3]　(1)已知{an}为等差数列，a4＋a7＋a10＝30，则a3－2a5的值为(　　) A．10 B．－10 C．15 D．－15 解析　∵a4＋a7＋a10＝3a7＝30，∴a7＝10，而a3－2a5＝a3－(a3＋a7)＝－a7＝－10. 答案 解析 (2)等差数列{an}中，已知a2＋a3＋a10＋a11＝36，则a5＋a8＝________. 答案　18 解析　解法一：根据题意，有(a1＋d)＋(a1＋2d)＋(a1＋9d)＋(a1＋10d)＝36，∴4a1＋22d＝36，则2a1＋11d＝18.而a5＋a8＝(a1＋4d)＋(a1＋7d)＝2a1＋11d，因此，a5＋a8＝18. 解法二：根据等差数列性质，可得a5＋a8＝a3＋a10＝a2＋a11＝36÷2＝18. 答案 解析 例4　(1)已知三个数成等差数列，它们的和为21，它们的平方和为155，求这三个数． 解 题型三 灵活设项求解等差数列 解 (2)若四个数成递增等差数列，中间两