1.2.1 等差数列及其通项公式-【金版教程】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册导学案课件PPT（湘教版）

1．2　等差数列 1.2.1　等差数列及其通项公式 第1章　数列 课程标准：通过生活中的实例，理解等差数列的概念和通项公式的意义． 教学重点：1.等差数列的概念.2.等差数列的通项公式及运用． 教学难点：1.等差数列的判定.2.等差数列的通项公式及灵活运用． 核心素养：1.通过学习等差数列的概念，提升数学抽象素养.2.通过学习等差数列的证明及相关计算，提升逻辑推理素养和数学运算素养. 1 核心概念掌握 PART ONE 2 同一个常数 常数 d M a＋b 等差数列的通项公式为an＝a1＋(n－1)d，要理解公式中an，a1，n，d的含义并掌握以下两点 (1)确定a1和d是确定通项公式的一般方法． (2)由方程思想，根据an，a1，n，d中任何三个量可求解另一个量，即“知三求一”． √ × √ －0.01 10 2 核心素养形成 PART TWO 例1　(1)在等差数列{an}中，已知a5＝10，a12＝31，求首项a1与公差d. 解 题型一 等差数列的通项公式 解 (2)已知等差数列{an}满足a1＝1，a3＝a－4，求数列{an}的通项公式． [解]　设等差数列{an}的公差为d， 由已知得1＋2d＝(1＋d)2－4，解得d＝±2， 当d＝2时，an＝1＋(n－1)×2＝2n－1， 当d＝－2时，an＝1＋(n－1)×(－2)＝－2n＋3. 解 [结论探究]　若本例(2)中条件不变，试求数列{an}中的最大项与最小项． 解　当d＝2时，an＝2n－1，数列{an}为递增数列，有最小项为a1＝1，无最大项． 当d＝－2时，an＝－2n＋3，数列{an}为递减数列，有最大项为a1＝1，无最小项． 解 解 (2)－401是不是等差数列－5，－9，－13，…的项？如果是，是第几项？ 解　由a1＝－5，d＝－9－(－5)＝－4， 得这个数列的通项公式为an＝－5－4(n－1)＝－4n－1， 令－401＝－4n－1， 得n＝100，即－401是这个数列的第100项. 解 题型二 等差中项及应用 解 (2)已知a，b，c成等差数列，那么a2(b＋c)，b2(c＋a)，c2(a＋b)是否成等差数列？ [解]　因为a，b，c成等差数列， 所以a＋c＝2b. 又因为a2(b＋c)＋c2(a＋b)－2b2(c＋a) ＝a2c＋c2a＋ab(a－2b)＋bc(c－2b) ＝a2c＋c2a－2abc＝ac(a＋c－2b)＝0， 所以a2(b＋c)＋c2(a＋b)＝2b2(c＋a)． 所以a2(b＋c)，b2(c＋a)，c2(a＋b)成等差数列． 若a，b，c成等差数列，则有a＋c＝2b；反之，若a＋c＝2b，则a，b，c成等差数列． 解 [跟踪训练2]　(1)在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c，使这五个数成等差数列，求此数列． 解 (2)已知数列{an}的首项为a1＝3，通项公式为an＝2np＋nq(n∈N＋，p，q为常数)，且a1，a4，a5成等差数列，求p，q的值． 解　由a1＝3，得2p＋q＝3. ① 又a4＝24p＋4q，a5＝25p＋5q，且a1＋a5＝2a4， ∴3＋25p＋5q＝25p＋8q，即q＝1. ② 将②代入①得p＝1，故p＝1，q＝1. 例3　(1)判断下列数列是否为等差数列． ①在数列{an}中，an＝3n＋2； ②在数列{an}中，an＝n2＋n. [解]　①an＋1－an＝3(n＋1)＋2－(3n＋2)＝3(n∈N＋)是常数，所以这个数列为等差数列． ②an＋1－an＝(n＋1)2＋(n＋1)－(n2＋n)＝2n＋2，不是常数，所以这个数列不是等差数列． 解 题型三 等差数列的判定与证明 解 解 1．判断一个数列是不是等差数列的常用方法 (1)定义法：an＋1－an＝d(d为常数，n∈N＋)⇔{an}是等差数列． (2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N＋)⇔{an}是等差数列． (3)通项公式法：an＝kn＋b(k，b为常数，n∈N＋)⇔{an}是等差数列． 若要说明一个数列不是等差数列，则只需举一个反例即可． 2．用定义证明等差数列时的易错点 用定义证明等差数列时，常采用两个式子an＋1－an＝d和an－an－1＝d，但它们的意义不同，后者必须加上“n≥2”，否则n＝1时，a0无定义． 解 [跟踪训练3]　(1)已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，数列{bn}中，bn＝3an＋4，问：数列{bn}是否为等差数列？并说明理由． 解　数列{bn}是等差数列． 理由：∵数列{an}是首项为a1，公差为d的等差数列， ∴an＋1－an＝d(n∈N＋)． ∴bn＋1－bn＝(3an＋1＋4)－(3an＋4)＝3(an＋1－a