第一篇 热点一 开放创新 重视关键能力（专题微讲Word）-【赢在微点·考前顶层设计】2022新教材新高考数学大二轮专题复习

热点一　开放创新　重视关键能力 命|题|分|析 2021年2月19日，教育部发布了《教育部关于做好2021年普通高校招生工作的通知》。通知指出2021年高考要优化情境设计，加强试题的开放性、灵活性，充分发挥高考命题的育人功能和积极的导向作用，引导减少死记硬背和“机械刷题”现象。这意味着高考中开放性试题的比例将增加，将更考验学生对知识的灵活运用！ 所谓开放性试题，就是参考答案不唯一，允许学生发表不同的看法，鼓励创造性思维，引导学生去思考、去拓展。开放性试题因为没有固定答案，只要解答合理即可，在一定程度上比较好得分，但得高分并不容易。下面我们通过开放性问题的几种考向进行说明。 考向一 结论开放型 结论开放型问题常见于含参的代数问题，参数的存在可能会导致表达式有不同的含义，另外，参数的不同取值也可能会带来不同的结果，因此结论开放，考查考生对概念深层次的理解。 【例1】　(多选)(2021·新高考全国Ⅰ卷)在正三棱柱ABC­A1B1C1中，AB＝AA1＝1，点P满足＝λ＋μ，其中λ∈[0,1]，μ∈[0,1]，则(　　) A．当λ＝1时，△AB1P的周长为定值 B．当μ＝1时，三棱锥P­A1BC的体积为定值 C．当λ＝时，有且仅有一个点P，使得A1P⊥BP D．当μ＝时，有且仅有一个点P，使得A1B⊥平面AB1P 【思路分析】　λ＝1时先确定点P的轨迹，进而求出△AB1P的周长表达式，可判断选项A；μ＝1时先确定出点P的轨迹，可用等积法判断选项B；λ＝时可确定μ＝0或μ＝1，A1P⊥BP，可判断选项C；利用线面垂直的判定定理确定选项D。 解析　＝λ＋μ(0≤λ≤1,0≤μ≤1)。对于选项A，当λ＝1时，点P在棱CC1上运动，如图①所示，此时△AB1P的周长为AB1＋AP＋PB1＝＋＋＝＋＋，不是定值，A错误； 对于选项B，当μ＝1时，点P在棱B1C1上运动，如图②所示，则VP­A1BC＝VA1­PBC＝S△PBC×＝S△PBC＝××1×1＝，为定值，故B正确；对于选项C，取BC的中点D，B1C1的中点D1，连接DD1，A1B(图略)，则当λ＝时，点P在线段DD1上运动，假设A1P⊥BP，则A1P2＋BP2＝A1B2，即2＋(1－μ)2＋2＋μ2＝2，解得μ＝0或μ＝1，所以点P与点D或D1重合时，A1P⊥BP，故C错误； 对于选项D，解法一：易知四边形ABB1A1为正方形，所以A1B⊥AB1，设AB1与A1B交于点K，连接PK(图略)，要使A1B⊥平面AB1P，需A1B⊥KP，所以点P只能是棱CC1的中点，故选项D正确。 ③ 解法二：分别取BB1，CC1的中点E，F，连接EF，则当μ＝时，点P在线段EF上运动，以点C1为原点建立如图③所示的空间直角坐标系C1xyz，则B(0，1,1)，B1(0,1,0)，A1，P，所以＝，＝，若A1B⊥平面AB1P，则A1B⊥B1P，所以－＋＝0，解得λ＝1，所以只存在一个点P，使得A1B⊥平面AB1P，此时点P与F重合，故D正确。综上，故选BD。 答案　BD 方法悟通 本题含λ，μ两个参变量，λ，μ的取值不同，点P的位置不同，呈现出不同的位置关系与度量关系，是一道具有特色的创新试题，考查了学生的逻辑推理能力、空间想象能力和运算求解能力。 考向二 条件选择型 条件选择型问题常见于从多个条件中选取一个或几个条件作答，选择的条件不同得到的结论可能相同也可能不相同。 【例2】　(2021·全国甲卷)已知数列{an}的各项均为正数，记Sn为{an}的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立。 ①数列{an}是等差数列；②数列{}是等差数列；③a2＝3a1。 【思路分析】　对于①③⇒②，找到{an}的首项和公差间的关系，表示出Sn，再利用等差数列的定义进行判断即可；对于①②⇒③，利用数列{an}的前n项和公式、等差数列通项公式的特征，得出数列{an}的首项和公差间的关系即可；对于②③⇒①，利用{}是等差数列求出Sn，再利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)结合等差数列通项公式的特征判断即可。 解　①③⇒②。 已知{an}是等差数列，a2＝3a1。 设数列{an}的公差为d，则a2＝3a1＝a1＋d，得d＝2a1，所以Sn＝na1＋d＝n2a1。 因为数列{an}的各项均为正数，所以＝n，所以－＝(n＋1)－n＝(常数)，所以数列{}是等差数列。 ①②⇒③。 已知{an}是等差数列，{}是等差数列。 设数列{an}的公差为d，则Sn＝na1＋d＝n2d＋n。 因为数列{}是等差数列，所以数列{}的通项公式是关于n的一次函数，则a1－＝0，即d＝2a1，所以a2＝a1＋d＝3a1。 ②③⇒①。 已知数列{}是等差数列，a2＝3a1，所以S1＝a1，S2＝a1＋a2＝4a1。 设数列{}的公差