第一篇 热点二 情境问题 突出素养导向（专题微讲Word）-【赢在微点·考前顶层设计】2022新教材新高考数学大二轮专题复习

热点二　情境问题　突出素养导向 命|题|分|析 新情境试题重视数学本质，突出理性思维、数学应用、数学探究、数学文化的引领作用，是近年高考考查的热点内容。试题往往使用贴近时代、贴近社会、贴近生活的素材，以日常生活、工业生产、国家发展、社会进步中的实际问题为背景，考查学生运用数学知识解决实际问题的能力，让学生充分感受数学的应用价值，强调以素养为导向，深受命题专家的青睐。试题多以图、表、文并用的方式呈现，各种题型都有可能出现。 考向一 五育并举　立德树人 【例1】　(2021·新高考全国Ⅰ卷)某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折。规格为20 dm×12 dm的长方形纸，对折1次共可以得到10 dm×12 dm,20 dm×6 dm两种规格的图形，它们的面积之和S1＝240 dm2，对折2次共可以得到5 dm×12 dm,10 dm×6 dm,20 dm×3 dm三种规格的图形，它们的面积之和S2＝180 dm2，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为________；如果对折n次，那么k＝________dm2。 【思路分析】　列出对折3次、4次相应的各种规格的图形S3、S4的值，归纳出对折n次的图形面积，用错位相减法求k的值。 解析　(错位相减法)依题意得，S1＝120×2＝240；S2＝60×3＝180；当n＝3时，共可以得到5 dm×6 dm， dm×12 dm,10 dm×3 dm,20 dm× dm四种规格的图形，且5×6＝30，×12＝30,10×3＝30,20×＝30，所以S3＝30×4＝120；当n＝4时，共可以得到5 dm×3 dm， dm×6 dm， dm×12 dm,10 dm× dm，20 dm× dm五种规格的图形，所以对折4次共可以得到不同规格图形的种数为5，且5×3＝15，×6＝15，×12＝15,10×＝15,20×＝15，所以S4＝15×5＝75；…，所以可归纳Sk＝×(k＋1)＝。所以k＝240　①，所以×k＝240　②，由①－②得，×k＝240＝240＝240，所以k＝240dm2。 答案　5　240 方法悟通 本题以中国传统文化民间剪纸艺术为背景，考查了数列型问题的“归纳、猜想、证明”策略的灵活运用，体现了美育教育的导向。本题是最具有特色的创新型试题，全面考查了数学学科素养中的理性思维、数学应用、数学文化、数学探索，考查了数学建模能力和运算求解能力。 考向二 聚焦热点　责任担当 【例2】　(2021·全国乙卷)将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有(　　) A．60种　　B．120种 C．240种　 D．480种 【思路分析】　本题依照“先选后排”的原则求解，即第1步先进行分组，第2步再进行排列的方法进行。 解析　根据题设中的要求，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，可分两步进行安排：第一步，将5名志愿者分成4组，其中1组2人，其余每组1人，共有C种分法；第二步，将分好的4组安排到4个项目中，有A种安排方法。故满足题意的分配方案共有C·A＝240(种)。 答案　C 方法悟通 本题以北京冬奥会为背景设计试题，体现了冬奥会志愿者的社会担当精神。解决本题的关键是先分组后分配，考查了解决排列组合问题的一般方法。 考向三 融入生活　关注应用 【例3】　(2021·山东日照模拟)2020年是中国传统的农历鼠年，有人用3个圆构成“卡通鼠”的形象，如图，Q(0，－3)是圆Q的圆心，圆Q过坐标原点O，点L，S均在x轴上，圆L与圆S的半径都等于2，圆S，圆L均与圆Q外切。已知直线l过点O。若直线l截圆L、圆S、圆Q所得弦长均等于d，则d＝________。 【思路分析】　设出l的方程，分别求出圆L、圆S、圆Q的圆心到直线l的距离d1，d2，d3，结合弦长公式求出l的斜率k的平方，从而求出d的值。 解析　设l的方程为y＝kx(k≠0)，三个圆心L，S，Q到l的距离分别为d1，d2，d3，易知L(－4,0)，S(4,0)，则d1＝，d2＝，d3＝，d＝2＝2＝2，所以4－2＝9－2，解得k2＝，则d2＝4×＝，解得d＝。 答案　 方法悟通 本题以“卡通鼠”为背景，考查点到直线的距离、弦长公式等知识。破解此类题的关键是“方程引路，几何法破题”，对于有关圆的弦长的问题，常利用几何法，即先求出圆心到直线的距离d，再利用弦长等于2(其中r为圆的半径)，即可破解。在此过程中，有时需用到方程思想，如本题，利用方程思想，求出直线l的斜率的平方，为求弦长d做准备。 考向四 关注科技　助力强国 【例4】　神舟十二号载人飞船发射成功，三名航