第一层级 专项3 平面向量、复数（专题微讲Word）-【赢在微点·考前顶层设计】2022新教材新高考数学大二轮专题复习

专项3　平面向量、复数 命|题|分|析 高考对本部分内容的考查主要有以下几方面：①平面向量的运算。包括向量的线性运算及几何意义，坐标运算，利用数量积运算解决模、夹角、垂直的问题，常与函数、不等式、三角函数、解析几何等知识进行简单的结合。②复数的运算。包括复数的概念、几何意义及四则运算。以上考点难度不高，属送分题，只要掌握基础知识就能得满分。 练基础　自主悟通 题组对点练 考点一 平面向量 1.下列命题正确的是(　　) A．若|a|＝|b|，则a＝b B．若|a|>|b|，则a>b C．若a＝b，则a∥b D．若|a|＝0，则a＝0 解析　对于A，当|a|＝|b|，即向量a，b的模相等时，方向不一定相同，故a＝b不一定成立；对于B，向量的模可以比较大小，但向量不可以比较大小，故B不正确；C显然正确；对于D，若|a|＝0，则a＝0，故D不正确。故选C。 答案　C 2．若D为△ABC的边AB的中点，则＝(　　) A．2－ B．2－ C．2＋ D．2＋ 解析　解法一：因为D是AB的中点，所以＝2，所以＝＋＝＋2＝＋2(－)＝2－。故选A。 解法二：因为D是AB的中点，所以＝(＋)，即2＝＋，所以＝2－。故选A。 答案　A 3．在△ABC中，D为BC的中点，E为AC边上的点，且＝2，则＝(　　) A. － B．－＋ C. － D．－＋ 解析　由题意可得＝－＝－(＋)＝－。故选B。 答案　B 4．(2021·云南省统一检测)已知向量a＝，b＝，则(　　) A．a∥(a－b) B．a⊥(a－b) C．(a－b)∥(a＋b) D．(a－b)⊥(a＋b) 解析　因为a＝，b＝，所以a－b＝(2，－3)，a＋b＝(1,5)，则×(－3)－2×1≠0，所以a－b与a不平行，故A错误；×2＋(－3)×1＝0，所以a－b与a垂直，故B正确；5×2－(－3)×1≠0，所以a－b与a＋b不平行，故C错误；1×2＋5×(－3)≠0，所以a－b与a＋b不垂直，故D错误。故选B。 答案　B 5．(多选)已知向量a＋b＝(1,1)，a－b＝(－3,1)，c＝(1,1)，设a，b的夹角为θ，则(　　) A．|a|＝|b| B．a⊥c C．b∥c D．θ＝135° 解析　根据题意，得a＋b＝(1,1)，a－b＝(－3,1)，则a＝(－1,1)，b＝(2,0)。对于A，|a|＝，|b|＝2，则|a|≠|b|，错误；对于B，a＝(－1,1)，c＝(1,1)，则a·c＝0，即a⊥c，正确；对于C，b＝(2,0)，c＝(1,1)，b∥c不成立，错误；对于D，a＝(－1,1)，b＝(2,0)，则a·b＝－2，|a|＝，|b|＝2，则cos θ＝＝－，则θ＝135°，正确。故选BD。 答案　BD 6.如图，在等边△ABC中，＝3，向量在向量上的投影向量为(　　) A. B. C. D. 解析　由题知D点是BC的四等分点，设三角形边长为a，则＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，||＝ ＝ ＝ ＝a，·＝·＝a2＋a2cos＝a2，则向量在向量上的投影向量为||cos〈，〉·＝·＝＝。故选D。 答案　D 7．(多选)点P是△ABC所在平面内一点，满足|－|－|＋－2|＝0，则△ABC不可能是(　　) A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 解析　因为点P是△ABC所在平面内一点，且|－|－|＋－2|＝0，所以||－|(－)＋(－)|＝0，即||＝|＋|，所以|－|＝|＋|，等式两边平方并化简得·＝0，所以⊥，∠BAC＝90°，则△ABC一定是直角三角形，也有可能是等腰直角三角形，不可能是钝角三角形和等边三角形。故选AD。 答案　AD 8．设a，b为单位向量，且|a＋b|＝1，则|a－b|＝________。 解析　将|a＋b|＝1两边平方得a2＋2a·b＋b2＝1。因为a2＝b2＝1，所以1＋2a·b＋1＝1，即2a·b＝－1。所以|a－b|＝＝＝＝。 答案　 9．(2021·青岛统一质量检测)已知非零向量a，b满足|b|＝2|a|，且(a＋b)⊥a，则a与b的夹角为________。 解析　因为(a＋b)⊥a，所以(a＋b)·a＝a2＋a·b＝0，即a·b＝－a2，又|b|＝2|a|，所以cos〈a，b〉＝＝＝－，又〈a，b〉∈[0°，180°]，所以a，b的夹角为120°。 答案　120° 10．(2021·天津高考)在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，DE⊥AB且交AB于点E，DF∥AB且交AC于点F，则|2＋|的值为________；(＋)·的最小值为________。 解析　设BE＝x，x∈，因为△ABC是边长为1的等边三角形，DE⊥AB，所以∠BDE＝30°，BD＝2x