专题一 小题专项1 三角函数的图象与性质（专题微讲Word）-【赢在微点·考前顶层设计】2022新教材新高考数学大二轮专题复习

第二层级　高分考点突破(把握考向——重点攻关) 专题一　三角函数、解三角形 小题专项1　三角函数的图象与性质 命|题|分|析 1．三角函数的图象和性质是高考必考的内容，在高考中多以选择题或填空题的形式出现。 2．高考小题对此部分内容的命题主要集中于三角函数的定义、图象与性质，主要考查图象的变换，函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性及最值，命题以基础性的小综合题为主。 明确考点　扣准要点 必 备 知 识 1．三角函数的定义 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，则sin α＝y，cos α＝x，tan α＝(x≠0)。各象限角的三角函数值的符号可记为：一全正，二正弦，三正切，四余弦。 2．函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象 (1)“五点(画图)法”作图 设z＝ωx＋φ，令z＝0，，π，，2π，求出x的值与相应的y的值，描点、连线可得。 (2)两种图象变换方式 3．三角函数的单调区间 (1)y＝sin x的单调递增区间是(k∈Z)，单调递减区间是(k∈Z)。 (2)y＝cos x的单调递增区间是[2kπ－π，2kπ](k∈Z)，单调递减区间是[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)。 (3)y＝tan x的单调递增区间是(k∈Z)。 4．三角函数图象的对称轴与对称中心 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象的对称轴 直线x＝kπ＋(k∈Z) 直线x＝kπ(k∈Z) 无 图象的对称中心 点(kπ，0) (k∈Z) 点(k∈Z) 点(k∈Z) 5.三角函数奇偶性的充要条件 函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数⇔φ＝kπ(k∈Z)； 函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数⇔φ＝kπ＋(k∈Z)； 函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数⇔φ＝kπ＋(k∈Z)； 函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数⇔φ＝kπ(k∈Z)。 精析精研　重点攻关 考 向 突 破 考向一 三角函数的定义 【例1】　(1)(2021·郑州模拟)点P从(1,0)点出发，沿单位圆x2＋y2＝1逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q点坐标为(　　) A. B. C. D. 解析　点P从点(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点，所以∠QOx＝(O为坐标原点)，所以Q，即Q点的坐标为。故选A。 答案　A (2)(2021·天津模拟)已知θ是第二象限角，P(x,2)为其终边上一点且cos θ＝x，则的值为(　　) A．5　　　 B. C. 　　　D. 解析　因为θ是第二象限角，P(x,2)(x<0)为其终边上一点，所以|OP|＝，所以cos θ＝＝x，解得x＝－1(正舍)。所以tan θ＝－2。所以＝＝＝5。故选A。 答案　A 方法悟通 (1)任意角的三角函数值仅与角α的终边位置有关，而与角α终边上点P的位置无关。若角α已经给出，则无论点P选择在α终边上的什么位置，角α的三角函数值都是确定的。 (2)应用诱导公式与同角关系开方运算时，一定要注意三角函数值的符号；利用同角三角函数的关系化简要遵循一定的原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等。 【变式训练1】　(1)(2021·扬州市适应性练习)如图，曲线段AB是一段半径为R的圆弧，若圆弧的长度为，则A，B两点间的距离为(　　) A．R　　　 B. R C. R　　 D．2R 解析　设所对的圆心角为α，则由题意，得αR＝R，所以α＝，所以AB＝2Rsin＝2Rsin＝2R×＝R。故选C。 答案　C (2)在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称。若sin α＝，则cos(α－β)＝________。 解析　由题设，得β＝(2k＋1)π－α(k∈Z)，所以sin β＝sin α＝，cos β＝－cos α。则cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－cos2α＋sin2α＝2sin2α－1＝2×－1＝－。 答案　－ 　 考向二 三角函数的图象及应用重点微专题 角度1　图象变换 【例2】　(2021·全国乙卷)把函数y＝f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数y＝sin的图象，则f(x)＝(　　) A．sin B．sin C．sin D．sin 解析　依题意，将y＝sin的图象向左平移个单位长度，再将所得曲线上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，得到f(x)的图象，所以y＝sin y＝sin的图象f(x)＝sin的图象。 答案　B 方法悟通 解决三角函数图象的变换问题，要注意以下两点： (1)掌握函数图象的变换法则，即“左加右减，上加下减”； (2)掌握函数图象变换的