专题一 小题专项2 三角恒等变换、解三角形（专题微讲Word）-【赢在微点·考前顶层设计】2022新教材新高考数学大二轮专题复习

小题专项2　三角恒等变换、解三角形 命|题|分|析 高考对本部分内容的考查主要从以下方面进行： (1)利用各种三角函数公式进行求值与化简，其中降幂公式、辅助角公式是考查的重点。 (2)利用正、余弦定理进行边和角、面积的计算，三角形形状的判定以及有关范围的计算，常与三角恒等变换综合考查。 明确考点　扣准要点 必 备 知 识 1．同角三角函数的基本关系 sin2α＋cos2α＝1，＝tan α。 2．诱导公式的记忆口诀 在＋α，k∈Z的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”。 3．熟记三角函数公式的两类变形 (1)和差角公式变形 sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β， cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β， tan α±tan β＝tan(α±β)·(1∓tan αtan β)。 (2)倍角公式变形 降幂公式：cos2α＝，sin2α＝。 升幂公式：cos α＝2cos2－1，cos α＝1－2sin2。 配方变形：1±sin α＝2。 4．正弦定理及其变形 在△ABC中，＝＝＝2R(R为△ABC的外接圆半径)。变形：a＝2Rsin A，sin A＝，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C等。 5．余弦定理及其变形 在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccos A。 变形：b2＋c2－a2＝2bccos A， cos A＝。 6．三角形面积公式 S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B。 7．解三角形中常用的结论 (1)在△ABC中，tan A＋tan B＋tan C＝tan A·tan B·tan C。 (2)在△ABC中，内角A，B，C成等差数列的充要条件是B＝60°。 (3)△ABC为正三角形的充要条件是A，B，C成等差数列，且a，b，c成等比数列。 (4)S△ABC＝(R为△ABC的外接圆半径)。 精析精研　重点攻关 考 向 突 破 考向一 三角恒等变换 【例1】　(1)已知角α的终边经过点P(－5，－12)，则sin＝(　　) A．－　　B．－ C．　　　D． 解析　由三角函数的定义可得cos α＝＝－，则sin＝－cos α＝。 答案　C (2)(2021·新高考全国Ⅰ卷)若tan θ＝－2，则＝(　　) A．－　　B．－ C．　　　D． 解析　解法一：(求值代入法)因为tan θ＝－2，所以角θ的终边在第二、四象限，所以或所以＝＝sin θ(sin θ＋cos θ)＝sin2θ＋sin θcos θ＝－＝。故选C。 解法二：(弦化切法)因为tan θ＝－2，所以＝＝sin θ(sin θ＋cos θ)＝＝＝＝。故选C。 解法三：(正弦化余弦法)因为tan θ＝－2，所以sin θ＝－2cos θ。则＝＝sin θ(sin θ＋cos θ)＝＝＝。故选C。 答案　C (3)已知α，β是锐角，cos 2αcos(α－β)＋sin 2αsin(α－β)＝－，sin＝，则cos＝________。 解析　cos 2αcos(α－β)＋sin 2αsin(α－β)＝cos[2α－(α－β)]＝cos(α＋β)＝－。因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)，β＋∈。所以sin(α＋β)>0，cos∈。又cos(α＋β)＝－，sin＝，所以sin(α＋β)＝，cos＝－。所以cos＝cos＝cos(α＋β)cos＋sin(α＋β)sin＝－×＋×＝。 答案　 方法悟通 (1)三角函数求值“三大类型” “给角求值”“给值求值”“给值求角”。 (2)三角恒等变换“四大策略” ①常值代换：常用到“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan 45°等。 ②项的拆分与角的配凑：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α，α＝(α－β)＋β等。 ③降幂与升幂：正用二倍角公式升幂，逆用二倍角公式降幂。 ④弦、切互化。 【变式训练1】　(1)若tan α＝，则sin4α＋cos4α的值为________。 解析　因为tan α＝，所以sin αcos α＝＝＝＝，所以sin4α＋cos4α＝(sin2α＋cos2α)2－2sin2αcos2α＝1－2×2＝。 答案　 (2)(tan 10°－)·＝________。 解析　(tan 10°－)·＝(tan 10°－tan 60°)·＝·＝·＝－＝－2。 答案　－2 (3)已知sin α＝，sin(α－β)＝－，α，β均为锐角，则β＝________。 解析　因为α，β均为锐角，所以－<α－β<。又sin(α－β)＝－，所以cos(α－β)＝。又sin α＝，所以cos α＝，所以sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝×－×＝。所以β