专题一 大题专项 解三角形大题考向探究（专题微讲Word）-【赢在微点·考前顶层设计】2022新教材新高考数学大二轮专题复习

大题专项　解三角形大题考向探究 命|题|分|析 三角函数与解三角形解答题一般处于高考数学试卷解答题第一题的位置，难度中等，以考查基础知识和基本能力为主。根据历年阅卷情况，此题的得分率并不是太高，主要原因是审题不严谨，基础知识不扎实，答题不规范，希望引起学生的高度重视。 精析精研　重点攻关 考 向 突 破 考向一 三角形基本量计算 【例1】　(2021·沈阳市质量监测)已知在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，若4S＝b2＋c2－a2，b＝。 (1)求A； (2)若______________________，求△ABC的面积S的大小。(在①2cos2B＋cos 2B＝0，②bcos A＋acos B＝＋1，这两个条件中任选一个，补充在横线上) 解　(1)因为4S＝b2＋c2－a2， 所以4×bcsin A＝b2＋c2－a2， 所以＝， 于是sin A＝cos A，故tan A＝1， 因为0<A<，所以A＝。 (2)选①，因为2cos2 B＋cos 2B＝0， 所以cos2B＝，所以cos B＝±。 因为0<B<，所以B＝。 根据正弦定理＝， 得＝，所以a＝2。 所以S＝absin C＝×2××sin＝。 选②，由bcos A＋acos B＝＋1， 得b·＋a·＝＋1，整理得c＝＋1，所以S＝bcsin A＝××(＋1)×sin＝。 方法悟通 求解三角形中的边和角等基本量时，需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的。其一般步骤是： 第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，然后确定转化的方向； 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化； 第三步：求结果。 【变式训练1】　△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c。已知B＝150°。 (1)若a＝c，b＝2，求△ABC的面积； (2)若sin A＋sin C＝，求C。 解　(1)由题设及余弦定理得28＝3c2＋c2－2×c2×cos 150°。 解得c＝－2(舍去)或c＝2，从而a＝2。 △ABC的面积为×2×2×sin 150°＝。 (2)在△ABC中，A＝180°－B－C＝30°－C， 所以sin A＋sin C＝sin(30°－C)＋sin C＝sin(30°＋C)。 故sin(30°＋C)＝。而0°<C<30°， 所以30°＋C＝45°，故C＝15°。 　 考向二 以平面几何为载体的解三角形问题 【例2】　(2021·郑州市质量预测)如图，在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝，c＝，B＝45°。 (1)求边BC的长； (2)在边BC上取一点D，使得cos∠ADB＝，求sin∠DAC的值。 解　(1)在△ABC中，因为b＝，c＝，B＝45°，所以由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B， 得5＝a2＋2－2×a××，化简得a2－2a－3＝0， 所以a＝3，或a＝－1(舍)，即BC的长是3。 (2)解法一：在△ABC中，由正弦定理＝，得＝，所以sin C＝。 在△ADC中，因为cos∠ADC＝－， 所以∠ADC为钝角，又∠ADC＋C＋∠CAD＝180°，所以C为锐角。 故cos C＝＝， 因为cos∠ADC＝－，所以sin∠ADC＝。 从而sin∠DAC＝sin(∠ADC＋C)＝。 解法二：因为cos∠ADB＝， 所以sin∠ADB＝， 在△ABD中，由正弦定理得 AD＝＝＝。 在△ADC中，cos∠ADC＝－，sin∠ADC＝。 由余弦定理AC2＝AD2＋DC2－2AD·DC·cos∠ADC，得5＝＋DC2－2××DC×，解得DC＝，或DC＝－(舍)。 再由正弦定理得sin∠DAC＝＝＝。 方法悟通 以平面几何为载体的问题，主要注意以下几方面：一是充分用好平面几何图形的性质；二是出现多个三角形时从条件较多的三角形突破求解；三是四边形问题要转化为三角形问题去求解；四是善于用好三角形中的不等关系，从而可以确定角或边的范围。 【变式训练2】　(1)如图，在△ABC中，AC＝，D为AB边上一点，CD＝AD＝2，且cos∠BCD＝。 ①求sin B； ②求△ABC的面积。 解　①在△ADC中，由余弦定理得cos∠ADC＝＝＝，所以sin∠ADC＝＝＝。 因为cos∠BCD＝，∠BCD是△BCD的内角，所以sin∠BCD＝＝＝， 所以sin B＝sin(∠ADC－∠BCD)＝sin∠ADCcos∠BCD－cos∠ADCsin∠BCD＝×－×＝。 ②在△BCD中，由正弦定理得＝＝， 所以BD＝＝＝4， BC＝＝＝＝2，所以AB＝AD＋BD＝6， 所以S△ABC＝AB·BC·sin B＝×6×2×＝。 (2)在平面四边形ABCD中，AB⊥