专题二 小题专项 等差数列与等比数列（专题微讲Word）-【赢在微点·考前顶层设计】2022新教材新高考数学大二轮专题复习

专题二　数列 小题专项　等差数列与等比数列 命|题|分|析 1．等差、等比数列基本量和性质的考查是高考热点，经常以小题形式出现。 2．数列求和及数列与函数、不等式的综合问题是高考考查的重点，考查分析问题、解决问题的综合能力。 明确考点　扣准要点 必 备 知 识 1．等差、等比数列的通项公式、前n项和公式及性质 等差数列 等比数列 通项 公式 an＝a1＋(n－1)d an＝a1qn－1(q≠0) 前n 项和 公式 Sn＝＝na1＋d ①q≠1，Sn＝＝； ②q＝1，Sn＝na1 性质 ①若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq； ②an＝am＋(n－m)d； ③Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍成等差数列 ①若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq； ②an＝amqn－m； ③Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍成等比数列(Sm≠0) 2.求数列通项公式常用的方法 (1)定义法：①形如an＋1＝an＋C(C为常数)，直接利用定义判断其为等差数列。 ②形如an＋1＝kan(k为非零常数)且首项不为零，直接利用定义判断其为等比数列。 (2)累加法：形如an＋1＝an＋f(n)，利用an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)求其通项公式。 (3)累乘法：形如＝f(n)≠0，利用an＝a1···…·求其通项公式。 (4)待定系数法：形如an＋1＝pan＋q(其中p，q均为常数，pq(p－1)≠0)，先用待定系数法把原递推公式转化为an＋1－t＝p(an－t)，其中t＝，再转化为等比数列求解。 (5)构造法：形如an＋1＝pan＋qn(其中p，q均为常数，pq(p－q)≠0)，先在原递推公式两边同除以qn＋1，得＝·＋，构造新数列{bn}，得bn＋1＝·bn＋，接下来用待定系数法求解。 3．辨明易错易混点 (1)忽略公式an＝Sn－Sn－1成立的条件是n≥2，n∈N*。 (2)证明一个数列是等差或等比数列时，由数列的前几项想当然得到通项公式，易出错，必须用定义证明。 (3)应用等比数列的前n项和公式时，应注意条件是否暗示了q的范围，否则，应注意讨论。 (4)等差数列的单调性只取决于公差d的正负，等比数列的单调性既要考虑公比q又要考虑首项。 精析精研　重点攻关 考 向 突 破 考向一 等差数列、等比数列的基本运算 【例1】　(1)已知数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，＋an＋1＝0，则S5＝(　　) A． B． C． D． 解析　由＋an＋1＝0，得＋Sn＋1－Sn＝0，即Sn＋1＝Sn，所以{Sn}为等比数列，又S1＝a1＝1，所以S5＝4＝。故选B。 答案　B (2)已知数列{an}是等比数列，数列{bn}是等差数列，若a2·a6·a10＝3，b1＋b6＋b11＝7π，则tan的值是(　　) A．1 B． C．－ D．－ 解析　因为{an}是等比数列，所以a2·a6·a10＝a＝3，所以a6＝。因为{bn}是等差数列，所以b1＋b6＋b11＝3b6＝7π，所以b6＝。故tan＝tan＝tan＝－tan＝－tan＝－。故选D。 答案　D 方法悟通 等差、等比数列的基本量问题主要涉及函数与方程的思想，难度不大，重点在于利用数列的基本性质构建方程，进而求得基本量，运算时要避免粗心的问题。 【变式训练1】　(1)已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，若a4＝，S3－a1＝，则S4＝(　　) A．　　　 B． C．　　　 D． 解析　因为a4＝，S3－a1＝，公比q>0且q≠1，所以解得所以S4＝＝。故选D。 答案　D (2)设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，若a2＋a7＋a9＝27，且S8＝S9，则d＝(　　) A．－3　　 B．－1 C．1　　　 D．3 解析　等差数列{an}中，a2＋a7＋a9＝(a1＋d)＋(a1＋6d)＋(a1＋8d)＝3(a1＋5d)＝3a6＝27，所以a6＝9；又S8＝S9，所以a9＝0，所以a9－a6＝3d＝－9，解得d＝－3。故选A。 答案　A 考向二 等差数列、等比数列的性质及应用 【例2】　(1)已知数列{an}的前n项和为Sn，点(n，an)在某条斜率存在且不为0的定直线上，同时满足2S5－13a4＋5a8＝10，则下列数中为定值的是(　　) A．a8 B．S9 C．a17 D．S17 解析　由点(n，an)在某条斜率存在且不为0的定直线上，得{an}为等差数列。因为2S5－13a4＋5a8＝10，所以(10a1＋20d)－13(a1＋3d)＋5(a1＋7d)＝10，化简得a1＋8d＝5，即a9＝5，所以S17