专题二 大题专项 数列大题考向探究（专题微讲Word）-【赢在微点·考前顶层设计】2022新教材新高考数学大二轮专题复习

大题专项　数列大题考向探究 命|题|分|析 高考对数列的考查若只出现在解答题中时，常以数列的相关项以及关系式，或an与Sn的关系入手，结合等差、等比数列的定义进行考查，题型主要有： 1．等差、等比数列基本量的运算。 2．数列求和问题。 3．等差、等比数列的判断与证明。 精析精研　重点攻关 考 向 突 破 考向一 数列基本量的计算 【例1】　已知数列{an}为正项等比数列，Sn为{an}的前n项和，且S3＝21，a2＋a3＝6a1。 (1)求数列{an}的通项公式； (2)从以下三个条件中任选一个作为已知条件，求数列{bn}的前n项和Tn。①bn＝；②bn＝an＋2n；③bn＝log2。 解　(1)设数列{an}的公比为q，因为a2＋a3＝6a1，所以a1q＋a1q2＝6a1，故q2＋q－6＝0，解得q＝2或q＝－3，又数列{an}为正项等比数列，故q＝2。由S3＝21，得a1(1＋q＋q2)＝21，将q＝2代入，得a1＝3，所以数列{an}的通项公式为an＝3×2n－1。 (2)选择①bn＝：由(1)可得bn＝＝＝n－1，所以数列{bn}是首项为1，公比为的等比数列，所以Tn＝＝3。 选择②bn＝an＋2n：由(1)可得bn＝an＋2n＝3×2n－1＋2n，所以Tn＝＋＝3(2n－1)＋n2＋n。 选择③bn＝log2：由(1)可得bn＝log2＝log2＝log22n－1＝n－1，所以数列{bn}是首项为0，公差为1的等差数列，所以Tn＝。 方法悟通 由等差数列、等比数列组成的综合问题，首先要立足两数列的概念，设出相应的基本量，充分使用通项公式、求和公式、数列的性质，确定基本量。解综合题的关键在于审清题目，弄懂来龙去脉，揭示问题的内在联系和隐含条件，确定解题策略。 【变式训练1】　设Sn是等差数列{an}的前n项和，a3＝7，________。 (1)求数列{an}的通项公式； (2)求数列{an}的前n项和Sn的最值。 从①S6＝51；②an＝an－1－3(n≥2)；③S5＝a3·a5中任选一个，补充在上面的问题中并作答。 解　选①：(1)设等差数列{an}的公差为d，由题设知解得所以an＝1＋3(n－1)＝3n－2。 (2)由(1)知an＝3n－2，所以数列{an}是递增数列，且an>0恒成立，所以(Sn)min＝S1＝1，Sn无最大值。 选②：(1)设等差数列{an}的公差为d，由题设知d＝an－an－1＝－3(n≥2)，因为a3＝a1＋2×(－3)＝7，所以a1＝13，所以an＝13－3(n－1)＝16－3n。 (2)由(1)知an＝16－3n，令an>0，得n≤5，又数列{an}是递减数列，所以(Sn)max＝S5＝＝35，Sn无最小值。 选③：(1)设等差数列{an}的公差为d，由题设知解得a5＝5，所以d＝＝－1，所以an＝a3＋(n－3)×(－1)＝10－n。 (2)由(1)知an＝10－n，令an＝0，得n＝10，又数列{an}是递减数列，所以(Sn)max＝S9＝S10＝＝45，Sn无最小值。 考向二 数列的证明问题 【例2】　已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an>0，S＝a－λSn＋1，其中λ为常数。 (1)证明：Sn＋1＝2Sn＋λ； (2)是否存在实数λ，使得数列{an}为等比数列？若存在，求出λ；若不存在，请说明理由。 解　(1)证明：因为an＋1＝Sn＋1－Sn， S＝a－λSn＋1， 所以S＝(Sn＋1－Sn)2－λSn＋1， 则Sn＋1(Sn＋1－2Sn－λ)＝0。 因为an>0，知Sn＋1>0， 所以Sn＋1－2Sn－λ＝0，故Sn＋1＝2Sn＋λ。 (2)由(1)知，Sn＋1＝2Sn＋λ， 当n≥2时，Sn＝2Sn－1＋λ， 两式相减，an＋1＝2an(n≥2，n∈N*)， 所以数列{an}从第二项起成等比数列，且公比q＝2。 又S2＝2S1＋λ，即a2＋a1＝2a1＋λ， 所以a2＝a1＋λ＝1＋λ>0，得λ>－1。 因此an＝ 若数列{an}是等比数列，则a2＝1＋λ＝2a1＝2。 所以λ＝1，经验证得λ＝1时，数列{an}是等比数列。 方法悟通 (1)判定等差(比)数列的主要方法：①定义法：对于任意n≥1，n∈N*，验证an＋1－an为与正整数n无关的一常数；②中项公式法。 (2)an＋1＝an·q和a＝an－1an＋1(n≥2)都是数列{an}为等比数列的必要不充分条件，判定时还要看各项是否为零。 【变式训练2】　已知数列{an}满足a2－a1＝1，其前n项和为Sn，当n≥2时，Sn－1－1，Sn，Sn＋1成等差数列。 (1)求证：{an}为等差数列； (2)若Sn＝0，Sn＋1＝4，求n的值。 解　(1)证明：当n≥2时，由Sn－1－1，Sn，Sn＋1成