专题六 小题专项2 基本初等函数、函数与方程（专题微讲Word）-【赢在微点·考前顶层设计】2022新教材新高考数学大二轮专题复习

小题专项2　基本初等函数、函数与方程 命|题|分|析 从近3年高考情况来看，本部分内容一直是高考的热点，尤其是对函数的零点、方程的根的个数的判断及利用零点存在性定理判断零点是否存在和零点存在区间的考查较为频繁。一般会将本部分内容的知识与函数的图象和性质结合起来考查，综合性较强，常以选择题、填空题形式出现。解题时要充分利用函数与方程、数形结合等思想。 明确考点　扣准要点 必 备 知 识 1．指数式与对数式的七个运算公式 (1)aman＝am＋n； (2)(am)n＝amn； 注：a>0，m，n∈Q。 (3)loga(MN)＝logaM＋logaN； (4)loga＝logaM－logaN； (5)logaMn＝nlogaM(n∈R)； (6)a＝N； (7)logaN＝， 注：a，b>0且a，b≠1，M>0，N>0。 2．指数函数与对数函数的图象和性质 指数函数y＝ax(a>0，a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，a≠1)的图象和性质，分0<a<1，a>1两种情况：当a>1时，两函数在定义域内都为增函数；当0<a<1时，两函数在定义域内都为减函数。 3．函数的零点问题 (1)函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标。 (2)确定函数零点的常用方法：①直接解方程法；②利用零点存在性定理；③数形结合，利用两个函数图象的交点求解。 4．应用函数模型解决实际问题的一般程序 ⇒⇒⇒。 精析精研　重点攻关 考 向 突 破 考向一 基本初等函数的图象与性质 【例1】　(1)已知函数f(x)＝logax＋b的图象如图所示，那么函数g(x)＝ax＋b的图象可能为(　　) 解析　因为函数y＝logax的图象过定点(1,0)，当a>1时，y＝logax在定义域上单调递增，且函数f(x)＝logax＋b在定义域上单调递增，函数f(x)＝logax＋b的图象是由函数y＝logax的图象向下平移(－b)个单位长度得到的，所以a>1,1<－b<2。当a>1时，函数y＝ax为增函数，其图象过定点(0,1)。函数g(x)＝ax＋b的图象是由函数y＝ax的图象向下平移(－b)个单位长度得到的，观察选项知，只有B满足题意，故选B。 答案　B (2)(2021·河北省六校联考)设a＝log2，b＝0.3，则有(　　) A．a＋b>ab B．a＋b<ab C．a＋b＝ab D．a－b＝ab 解析　因为a＝log2＝－log23，<log23<2，所以－<－log23<－，即－<a<－，又b＝0.3>1＝，所以a＋b>0，ab<0，所以a＋b>ab。故选A。 答案　A (3)(2021·福建省五校联考)已知函数f(x)＝|lg x|，若f(a)＝f(b)且a<b，则不等式logax＋logb(2x－1)>0的解集为(　　) A．(1，＋∞) B．(0,1) C. D. 解析　f(a)＝f(b)⇒|lg a|＝|lg b|⇒lg a＝±lg b⇒a＝b或a＝，因为a<b，所以0<a＝<1，所以logax＋logb(2x－1)＝logax－loga(2x－1)＝loga>0⇒⇒x>1。故选A。 答案　A 方法悟通 (1)对数函数与指数函数的单调性都取决于其底数的取值，若底数a的值不确定，要注意分a>1和0<a<1两种情况讨论：当a>1时，两函数在定义域内都为增函数；当0<a<1时，两函数在定义域内都为减函数。 (2)由指数函数、对数函数与其他函数复合而成的函数，其性质的研究往往通过换元法转化为两个基本初等函数的有关性质，然后根据复合函数的性质与相关函数的性质之间的关系进行判断。 【变式训练1】　(多选)若2a＋1＝3,2b＝，则下列结论正确的是(　　) A．a＋b＝3 B．b－a<1 C.＋>2 D．ab> 解析　由2a＋1＝3,2b＝，得2a＋1·2b＝8，所以a＋1＋b＝3，则a＋b＝2，故A不正确。又2a＋1＝2·2a＝3，所以<2a＝<2，所以b>1>a>。因为＝2b－a＝<2，所以b－a<1，故B正确；＋＝(a＋b)×＝≥(2＋2)＝2，等号不成立，故C正确；ab＝a(2－a)＝－(a－1)2＋1，因为<a<1，所以－(a－1)2＋1∈，所以ab>，故D正确。综上所述，选BCD。 答案　BCD 考向二 函数的零点 重点微专题 角度1　确定零点的个数或范围 【例2】　(1)函数f(x)＝log2x－的零点所在的区间为(　　) A. B. C．(1,2) D．(2,3) 解析　函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数。f＝log2－＝－1－2＝－3<0，f(1)＝log21－＝0－1<0，f