考点04 一次方程（组）与其应用-备战2023年中考数学一轮复习考点帮（全国通用）

考点04 一次方程（组）与其应用 一元一次方程与二元一次方程组在初中数学中因为未知数的最高次数都是一次，且都是整式方程，所以常放在一起统称为“一次方程”，而在数学中考中，对于这两个方程的解法及其应用一直都有考察，其中对于两个方程的解法以及注意事项是必须掌握的，而在其应用上也是中考代数部分结合型较强的一类考点，需要考生在一轮复习中把该考点熟练掌握。 考向一·等式的基本性质 考向二·一元一次方程的解法 考向三·二元一次方程组的解法 考向四·一次方程（组）的简单应用 考向一：等式的基本性质 等式的基本性质 等式的概念 表示相等关系的式子，叫做等式 等式 的性质 性质1 如果a=b，那么a±c=b±c 性质2 如果a=b，那么ac=bc；如果a=b，那么 等式的传递性 如果a=b，b=c，那么a=c 【易错警示】 等式基本性质反向应用时，不确定c的范围时，结果不一定成立； 如：若ac=bc，则不一定得到a=b，因为当c=0时，a可以≠b 1．下列判断错误的是（　　） A．如果a＝b，那么a+c＝b+c B．如果ac＝bc，那么a＝b C．如果a＝b，那么ac＝bc D．如果a＝b，那么＝（c≠0） 【分析】依据等式的性质解答即可． 【解答】解：A、等式两边同时加上c得到a+c＝b+c，原变形正确，故此选项不符合题意； B、等式两边同时除以c得到a＝b，必须规定c≠0，原变形错误，故此选项符合题意； C、等式两边同时乘c得到ac＝bc，原变形正确，故此选项不符合题意； D、等式两边同时除以c得到＝（c≠0），原变形正确，故此选项不符合题意． 故选：B． 2．已知3a＝2b+5，下列等式不一定成立的是（　　） A．3ab＝2b2+5b B．3a+1＝2b+6 C．＝+ D．a＝b+ 【分析】根据等式的性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式，进行变形． 【解答】解：A、3ab＝2b2+5b，等式成立∴不符合题意； B、3a+1＝2b+6，等式成立∴不符合题意； C、等式两边都除以c时，c≠0，等式不成立∴符合题意； D、等式两边都除以3时，原式成立，∴不符合题意； 故选：C． 3．若，则x与y的等量关系是 　x2﹣y2＝4　（结果不含a，b）． 【分析】利用完全平方公式，进行计算即可解答． 【解答】解：∵， ∴x2＝（+）2＝+2+， y2＝（﹣）2＝﹣2+， ∴x2﹣y2＝（＝+2+）﹣（﹣2+）＝4， 故答案为：x2﹣y2＝4． 4．规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）：如果ac＝b，那么（a，b）＝c．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3． （1）根据上述规定，填空：（3，9）＝　2　，＝　4　，（﹣2，﹣32）＝　5　． （2）令（2，6）＝x，（2，7）＝y，（2，42）＝z，试说明下列等式成立的理由：（2，6）+（2，7）＝（2，42）． 【分析】（1）根据新定义运算法则进行计算即可； （2）设（2，6）＝x，（2，7）＝y，（2，42）＝z，根据新定义运算可得2x＝6，2y＝7，2z＝42，进而得出x+y＝z即可． 【解答】解：（1）∵32＝9， ∴（3，9）＝2； ∵（﹣）4＝， ∴（﹣，）＝4； ∵（﹣2）5＝﹣32， ∴（﹣2，﹣32）＝5； 故答案为：2，4，5； （2）设（2，6）＝x，（2，7）＝y，（2，42）＝z，则2x＝6，2y＝7，2z＝42， ∵6×7＝42， ∴2x×2y＝2z， ∴2x+y＝2z， ∴x+y＝z， ∴（2，6）+（2，7）＝（2，42） 5．（1）观察下面的点阵图与等式的关系，并填空： （2）通过猜想，写出第n个点阵相对应的等式：　1+3+5+…+（2n﹣1）+（2n+1）+（2n﹣1）+…+5+3+1＝n2+（n+1）2　． 【分析】（1）根据点阵图即可求解； （2）根据（1）中的3个等式得出规律，进而写出第n个点阵相对应的等式． 【解答】解：（1）第1个点阵 1+3+1＝12+22， 第2个点阵 1+3+5+3+1＝22+32， 第3个点阵 1+3+5+7+5+3+1＝32+42． 故答案为：22，32，32，42； （2）第n个点阵相对应的等式为： 1+3+5+…+（2n﹣1）+（2n+1）+（2n﹣1）+…+5+3+1＝n2+（n+1）2． 故答案为：1+3+5+…+（2n﹣1）+（2n+1）+（2n﹣1）+…+5+3+1＝n2+（n+1）2． 考向二：一元一次方程的解法 1. 一元一次方程的概念： 只含有1个未知数（元），未知数的最高次数是1次的整式方程叫做一元一次方程。 2. 一元一次方程解法： 步骤 名 称 方 法 1 去分母