专题01 均值不等式的“十一大方法与八大应用”-【题型方法解密】2023年高考数学二轮常考点+重难点复习攻略（新高考地区专用）

专题01 均值不等式的“十一大方法与八大应用” 目录 一 重难点题型方法 1 方法一：“定和”与“拼凑定和” 1 方法二：“定积”与“拼凑定积” 2 方法三：“和积化归” 3 方法四：“化1”与“拼凑化1” 4 方法五：“不等式链” 5 方法六：“复杂分式构造” 5 方法七：“换元法” 6 方法八：“消元法” 7 方法九：“平方法” 7 方法十：“连续均值” 8 方法十一：“三元均值” 8 应用一：在常用逻辑用语中的应用 9 应用二：在函数中的应用 9 应用三：在解三角形中的应用 10 应用四：在平面向量中的应用 10 应用五：在数列中的应用 10 应用六：在立体几何中的应用 11 应用七：在直线与圆中的应用 11 应用八：在圆锥曲线中的应用 12 二 针对性巩固练习 12 重难点题型方法 方法一：“定和”与“拼凑定和” 【典例分析】 典例1-1．（2021·陕西省神木中学高二阶段练习）若，，且，则xy最大值为（    ） A．9 B．6 C．3 D． 典例1-2．（2022·湖南·雅礼中学高三阶段练习）已知，且，则的最大值为（    ） A．36 B．25 C．16 D．9 【方法技巧总结】 1.公式：若，则（当且仅当时取“=”） 推论：（1）若，则 (2) （3） 2. 利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：“一正二定三相等” （1）“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，注意多次运用不等式，等号成立条件是否一致. 3.技巧：观察积与和哪个是定值，根据“和定积动，积定和动”来求解，不满足形式的可以进行拼凑补形。与函数有关的题型还会用到配系数法。 【变式训练】 1．（2022·上海·高三学业考试）已知x>1，y>1且lg x＋lg y＝4，那么lg x·lg y的最大值是（    ） A．2 B． C． D．4 2．（2023·全国·高三专题练习）已知，则函数 的最大值是（　　） A． B． C． D． 方法二：“定积”与“拼凑定积” 【典例分析】 典例2-1．（2022·四川·南江中学高三阶段练习（理））已知，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 典例2-2．（2022·重庆市育才中学高一期中）若，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 【方法技巧总结】 1.技巧：观察积与和哪个是定值，根据“和定积动，积定和动”来求解，不满足形式的可以进行拼凑补形。与函数有关的题型还会用到正负变法、添项法、拆项法等。 【变式训练】 1．（2022·广东·惠州市华罗庚中学高一阶段练习）已知函数，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（2022·湖北·高一期中）函数的最大值是（    ） A． B．1 C．5 D． 方法三：“和积化归” 【典例分析】 典例3．（2022·山东山东·高一期中）已知，，且，若不等式恒成立，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C．或 D．或 【方法技巧总结】 1. 技巧：根据和与积的关系等式，结合均值不等式可以求出积或和的最值，这样的方法叫做“和积化归”。 【变式训练】 1．（2022·山西师范大学实验中学高二阶段练习）已知正数a，b满足，则的最小值为（    ） A．1 B． C．4 D．5 方法四：“化1”与“拼凑化1” 【典例分析】 典例4-1．（2022·河北·衡水市第二中学高一期中）若两个正实数满足，且不等式有解，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 典例4-2．（2022·江西宜春·高二阶段练习（理））已知，均为正数，且，则的最小值为（    ） A．8 B．16 C．24 D．32 【方法技巧总结】 1. 技巧：化1法流程为：①条件化1，与问题相乘，②将乘积式展开为四项，其中两个含参，另外两个为常数，③对其适用均值定理推论进行求最值。 2. 注意：要先观察条件与问题的形式，需满足条件与问题分别为（或可整理为）两个含单参数的单项式相加的形式，且这四个单项式有两个参数在分母，另外两个参数在分子。 【变式训练】 1．（2022·广东·广州市第九十七中学高一阶段练习）已知正数，满足，则的最小值为（    ） A．10 B．12 C．18 D．24 2．（2022·四川外国语大学附属外国语学校高一期中）设正实数满是 ，则的最小值为（　　　） A． B． C． D． 方法五：“不等式链” 【典例分析】 典例5．（2022·全国·高三专题练习（文））若，且，则