第05讲 函数应用题（函数建模）-2023年高考数学二轮高频考点透析与三年真题精练

第05讲 函数应用题（函数建模） 一、课标要求： 数学建模活动是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的过程。主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、构建模型，确定参数、计算求解，检验结果、改进模型，最终解决实际问题。数学建摸活动是基本数学思维运用模型解决实际问题的一类综合实践活动，是高中阶段数学课程的重要内容。 数学建模活动的基本过程如下： 数学探究活动是围绕某个具体的数学问题，开展自主探究、合作研究并最终解决问题的过程。具体表现为：发现和提出有意义的数学问题，猜测合理的数学结论，提出解决问题的思路和方案，通过自主探索、合作研究论证数学结论。数学探究活动是运用数学知识解决数学问题的一类综合实践活动，也是高中阶段数学课程的重要内容。 二、知识梳理 1． 函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来描述．函数模型的应用，一方面是利用已知函数模型解决问题，另一方面是建立恰当的函数模型，并利用所得函数模型解释有关现象，对某些发展趋势进行预测． 2． 在区间上， 尽管，，都是增函数， 但它们的增长速度不同，而且不在同一个 “档次” 上． 随着的增大，的增长速度越来越快， 会超过并远远大于的增长速度，而的增长速度则会越来越慢． 因此，总会存在一个，当时，就有．[对数增长，直线上升，指数爆炸] 3． 根据收集到的数据特点，通过建立函数模型，解决实际问题的过程： 课外篇 1． 求解数学应用题的一般步骤： ①审题：认真读题，确切理解题意，明确问题的实际背景，寻找各量之间的内在联系，及关键的等量关系． ②建模：通过抽象概括，引进数学符号，将实际问题转化为相应的数学问题，要注明符合实际意义的定义域； ③解模：求解所得的数学问题； ④回归：将所解得的数学结果，回归到实际问题中去． 2． 常见的函数模型有： （根据列表⇒作出散点图⇒选择函数模型，即列表法⇒图象法⇒解析法） ①一次函数，二次函数，反比例函数模型． ②指数函数、对数函数、幂函数模型：(，且)，三角函数模型： ③指数增长模型：设原有量为，每次的增长率为，经过次的增长，该量增长到，则．复利问题、半衰期（衰减）问题都是符合指数增长模型．指数型函数模型： (，且)． ④分段函数模型：若一个函数在它的定义域中，对于自变量?的不同取值范围，对应法则不同，则需用分段函数来表示．（这样的函数通常称为分段函数） 3． 在“求当取得最值时的值”的题型中，一般都能建立的函数关系！不管的形式有多么复杂，也不论是在立体几何、解析几何、函数、数列等背景中． (函数思想) 4． 在应用题中，若涉及到的数量关系较多时，最好是先分类说明，然后再建立函数关系式(或不等式)．这样，在考试中，即使不能完全做对，也能得到相应的一些步骤分．而直接列式在错误的情况下，一般是不会给分的． 三、查缺补漏 例1：如图所示，将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求在 的延长线上，在的延长线上，且对角线过 点。已知米，米。 （1）设（单位：米），要使花坛的面积大于32平方米，求的取值范围； （2）若（单位：米），则当的长度分别是多少时，花坛的面积最大？并求出最大面积。 （1）思路：根据相似三角形可得线段比例：，从而解出，则，从而可得，解出的范围即可 解： 依题意可得： 解得： （2）思路：求面积的最大值，即求表达式的最大值，分离常数求解即可 解：设 设，则 则，根据对勾函数可得：时，达到最大值，即 此时，所以 答：当时，四边形的面积最大，为 变式1：时下网校教学越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生们课外学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量y（单位：千套）与销售价格:（单位：元/套）满足的关系式，其中为常数．已知销售价格为4元/套时，每日可售出套题21千套． （1）求的值； （2）假设网校的员工工资、办公等所有开销折合为每套题2元（只考虑销售出的套数），试确定销售价格的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大．（保留1位小数） 解：（1）将代入关系式可得： （2）思路：依题意可得售出一套，所得利润为元，所以总的利润，其中，利用导数判定的单调性，进而可求得最大值点 解：依题意所获利润 化简可得： 令，即解不等式 解得 在单调递增，在单调递减 在取得最大值，即 例2：某人销售某种商品，发现每日的销售量（单位：kg）与销售价格 （单位：元/kg）满足关系式，其中 为常数.已知销售价格为8元/kg时，该日的销售量是80kg. （1）求的值； （2）若该商品成本为6元/kg，求商品销售价格为何值时，每日销售该商品所获得的利润最大. 解：（1）当时，，解得： （2）思路：依题意可得销售商品所获得利