第04讲 指对幂函数-2023年高考数学二轮高频考点透析与三年真题精练

第4讲 指对幂函数 一、课标要求： 幂函数、指数函数与对数函数是最基本的、应用最广泛的函数，是进一步研究数学的基础。本单元的学习，可以帮助学生学会用函数图象和代数运算的方法研究这些函数的性质；理解这些函数中所蕴含的运算规律；运用这些函数建立模型，解决简单的实际问题，体会这些函数在解决实际问题中的作用。 内容包括：幂函数、指数函数、对数函数。 （1）幂函数 通过具体实例，结合的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数。 （2）指数函数 ①通过对有理指数幂 、实数指数幂（a>0,且，a≠1，x∈R）含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质。 ②通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念。 ③能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点。 （3)对数函数 ①理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数。 ②通过具体实例，了解对数函数的概念。能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点。 ③知道对数函数与指数函数 互为反函数（a＞0，且a≠1）。　 ④*收集、阅读对数概念的形成与发展的历史资料，撰写小论文，论述对数发明的过程以及对数对简化运算的作用。 二、知识梳理 （一）幂函数 1． 定义：函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数．重点掌握：时图象与性质． 2． 图象与性质：右边几个函数的图像都只画出第一象限内的部分，二三象限内的图像可根据定义域，奇偶性确定！ 当时，在是增函数；当时，在是减函数． 3． 幂函数(，且互质）可分别化为：，再研究函数性质． （二）指数与指数幂的运算 1． 若，则叫做的次方根． （1）当为奇数时，； （2）当为偶数时，； 2． 根式的性质：① ② 3． 正数的正分数与负分数指数幂的意义：(，且) ①； ②. 4． 正数的指数幂的运算性质： ①， ② ③ ④ ⑤ ⑥. 【说明】当时，这些运算性质不一定适用． （三）指数函数(且)的图象和性质： 【通过图象掌握性质：定义域，值域，定点，单调性．】 指数函数 图象 定义域 值域 性质 （1）过定点，即时， （2）在上是减函数 （2）在上是增函数 （四）对数与对数运算 1． 如果(，且)，那么数叫做以为底的对数，记作． 2． (，且)． 【简记：其中】 ①；②； ③；④．[可用于常数化指数式、对数式] 3． 对数的运算性质(，且)： （1）； （2）； 【】 （3）． 【】 【注意】①，正确的是：． ②对常用对数式的化简，要充分利用． 4． 换底公式：；(其中，且，，且) 推论：①；②；③． （五）对数函数 (，且)的图象和性质： 【通过图象掌握性质：定义域，值域，定点，单调性】 对数函数 图象 定义域 值域 性质 （1）过定点，即时， （2）在上是减函数 （2）在上是增函数 ①与互为反函数； ②互为反函数的两个函数的图象关于直线对称，反之亦然． ③点与关于直线对称． 三、查缺补漏 1. 函数的大小比较 例1已知，，，则（ ） A. B. C. D. 变式：已知，，则（ ） A． B． C． D． 2. 指数函数的运算和性质 例2已知函数与图象上存在关于轴对称的点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 变式：已知则=________. 3.对数函数的运算和性质 例3函数的最小值为_________. 变式： 已知实数满足，则下列关系式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 4.幂函数的性质 例4、已知且，则下列各式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 变式：当，下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 例5、幂函数在上是减函数，则实数m的值为（ ） A.2或1 B.1 C.2 D.2或1 变式：已知幂函数在上单调递增. (1)求实数m的值； (2)若，求实数k的取值范围. 四、常用二级结论： 1． 与指数函数有关的奇函数、偶函数，及其单调性： 奇函数 ①【单调性：变形为可快速判断单调性】 ②；【单调性：变形为可快速判断单调性】 偶函数：③， 【还要掌握其图象！】 2． 与对数函数有关的奇函数、偶函数，及其单调性： 奇函数：①， 【奇偶性：，或】 【单调性：