11.1.6祖暅原理与几何体的体积（一）学案-2021-2022学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第四册

高一数学必修1导学案 编号：21 使用时间：2014.10.21 编制人：刘希龙 韩高飞 赵大伟 方欣欣 审核人： 包科领导签字： 班级： 小组： 姓名： 教师评价： 高一数学 编号：56 编制人：赵美霞 秦建成 张为民 审核人： 学科主任 年级主任： 班级： 小组： 姓名： 教师评价： 课题：祖暅原理与几何体的体积（一） ---探究祖暅原理和柱锥台的体积 【使用说明及学法指导】 1.先精读课本P82—P84的基础知识，用红色笔进行勾画；再回答本案中的问题； 2.对课本中每一个例题的题型及思想方法进行梳理总结； 3.规范解题步骤，完成学习设计与指导。 【学习目标】 1.通过实例,用自己的话说出祖暅原理和柱锥台体积的推导过程； 2.探究总结柱锥台的体积计算的规律方法. 3.体会祖暅原理在研究空间几何体体积时的应用. ( 学习活动1 ) ——祖暅原理和柱体体积 祖暅[gèng]（456年—536年），一作祖暅之，字景烁，范阳遒县（今河北涞水）人。中国南北朝时期数学家、天文学家，祖冲之之子。同父亲祖冲之一起圆满解决了球面积的计算问题，得到正确的体积公式，并据此提出了著名的“祖暅原理”。祖冲之父子总结了魏晋时期著名数学家刘徽的有关工作，提出“幂势既同则积不容异”，即等高的两立体，若其任意高处的水平截面积相等，则这两立体体积相等，这就是著名的祖暅公理（或刘祖原理）。祖暅应用这个原理，解决了刘徽尚未解决的球体积公式。该原理在西方直到十七世纪才由意大利数学家卡瓦列利发现，比祖暅晚一千一百多年。祖暅是我国古代最伟大的数学家之一。 【情境引入】 取一摞书放在桌子上，将他们改变一下形状（如图），这时这摞书高度没有改变，每本书底面的面积也没有改变，观察改变前后这摞书的体积如何变化？从以上事实中你得到什么启发？这节课，我们用数学的知识去解释这一现象。 思考探究 1. 夹在两个平行平面间的两个几何体，如果被平行 于这两个平面的任意平面所截，两个截面的面积总 相等，那么这两个几何体的体积有什么关系？ 2.如图，下面都是底面积为S,高为h的柱体，根据祖暅原理，他们的体积有什么关系？柱体的体积公式是什么？ 归纳生成 常见的柱体有哪些？如何求他们的体积？ ( 学习活动2 一一一一1一 ) ——探究锥、台体积的体积公式 1.根据祖暅原理，同底等高的椎体体积有什么关系？ 2.一个三棱柱可以分成3个三棱锥，得到三个三棱锥什么关系？说明理由，并写出椎体的体积公式。 3.怎样得到一个台体？写出棱台、圆台的体积公式。 实践生成 归纳柱锥台三类几何体的体积公式。 迁移提升 1．如图，直三棱柱ABC－A′B′C′，高为3，底面为边长是1的正三角形，则三棱锥B′－ABC的体积为(　　).文...........档来自于网络搜索 A． B． C． D． 2.正四棱锥的侧棱长为，侧棱与底面正方形对角线夹角为，则该棱锥的体积是( ). A.3 B.6 C.9 D.18 3.母线长为1的圆锥的侧面展开图的圆心角等于π，则该圆锥的体积为 (　 　). A.π B.π C.π D.π ( D C B A )4.如图所示，在长方体中，用截面截下一个棱锥,求棱锥的体积与剩余部分的体积之比为 . 5.在中，，，.若将绕直线旋转一周，求形成的旋转体的体积． 【自助餐】如图，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为a，过顶点B、D、A1截下一个三棱锥． (1)求此三棱锥的体积； (2)以BDA1为底面时，求此三棱锥的高． 水平划分 水平标准 星级评价 自我评价 水平一 说出祖暅原理和柱锥台体积推导过程 水平二 掌握利用公式求体积的计算方法 水平三 熟练空间几何体的体积计算，提升数学运算的核心素养. ( 学习评价 ) 学科网（北京）股份有限公司 $