第1章 二次函数 小结与复习（课件PPT）-【优翼·学练优】2022-2023学年九年级下册初三数学同步备课（湘教版）

第1章 二次函数 小结与复习 优翼九下数学教学课件（XJ） 一般地，形如　 　(a，b，c 是常数，　 　) 的函数，叫做二次函数． y＝ax2＋bx＋c a ≠ 0 【注意】(1) 等号右边必须是整式； (2) 自变量的最高次数是 2； (3) 当 b＝0，c＝0 时，y＝ax2 是特殊的二次函数． 1. 二次函数的概念 要点梳理 二次函数 y = a(x − h)2 + k y = ax2 + bx + c 开口 方向 对称轴 顶点坐标 最值 a＞0 a＜0 增减性 a＞0 a＜0 2. 二次函数的图象与性质： a＞0 时开口向上 a＜0 时开口向下 x = h (h，k) y最小 = k y最大 = k 在对称轴左边 x↗y↗，在对称轴右边 x↗y↘ 在对称轴左边 x↗y↘，在对称轴右边 x↗y↗ y最小= y最大= 3. 二次函数图象的平移 y＝ax2 左、右平移，自变量左加右减 上、下平移，常数项上加下减 y＝-ax2 写成一般形式 沿 x 轴翻折 4. 二次函数表达式的求法 （1）一般式法：y＝ax2＋bx＋c ( a≠0 ) （2）顶点法：y＝a(x－h)2＋k ( a≠0 ) （3）交点法：y＝a(x－x1)(x－x2) ( a≠0 ) 5. 二次函数与一元二次方程的关系 二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象和 x 轴交点有三种情况:有两个交点，有两个重合的交点，没有交点.当二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象和 x 轴有交点时，交点的横坐标就是当 y = 0 时自变量 x 的值，即一元二次方程 ax2＋bx＋c = 0 的根. 二次函数 y = ax2＋bx＋c 的图象与 x 轴的公共点 一元二次方程 ax2＋bx＋c = 0的实数根 一元二次方程 ax2＋bx＋c = 0 根的判别式 (b2 - 4ac) 有两个公共点 有两个不同的实数根 b2 - 4ac ＞ 0 有两个重合的交点 有两个相等的实数根 b2 - 4ac = 0 没有公共点 没有实数根 b2 - 4ac ＜ 0 6. 二次函数的应用 （1）二次函数的应用包括以下两个方面： ① 用二次函数表示实际问题变量之间的关系，解决最大化问题(即最值问题)； ② 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解． （2）一般步骤：① 找出问题中的变量和常量以及它们之间的函数关系；② 列出函数关系式，并确定自变量的取值范围；③ 利用二次函数的图象及性质解决实际问题；④ 检验结果的合理性，是否符合实际意义． 例2 二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象如图所示，若点A(x1，y1)，B(x2，y2)在此函数图象上，且x1＜x2＜1，则y1与y2的大小关系是(　　) A. y1≤y2 B．y1＜y2 C．y1≥y2 D．y1＞y2 B 考点一 二次函数的图象和性质 例1 抛物线 y＝x2－2x＋3 的顶点坐标为________． (1，2) 考点讲练 例3 已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图像如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a－b＜0；③4a－2b＋c＜0；④(a＋c)2＜b2. 其中正确的个数是(　　) A．1　　 　B．2　　　　　 C．3　　　　　D．4 解析：由图象开口向下可得 a＜0，由对称轴在 y 轴左侧可得 b＜0，由图象与 y 轴交于正半轴可得 c＞0，则 abc＞0，故①正确； 由对称轴 x＞－1可得2a－b＜0，故②正确； 由图象上横坐标为 x＝－2的点在第三象限可得4a－2b＋c＜0，故③正确； 由图象上横坐标为 1 的点在第四象限得出a＋b＋c＜0，由图象上横坐标为 －1 的点在第二象限得出 a－b＋c＞0，则(a＋b＋c)(a－b＋c)＜0， 即(a＋c)2－b2＜0，可得(a＋c)2＜b2， 故④正确．故选D. 方法总结 1. 可根据对称轴的位置确定 b 的符号：b＝0⇔对称轴是 y 轴；a、b同号⇔对称轴在 y 轴左侧；a、b异号⇔对称轴在 y 轴右侧.这个规律可简记为“左同右异”. 2. 当 x＝1 时，函数 y＝a＋b＋c.当图象上 x＝1 的点在 x轴上方时，a＋b＋c＞0；当图象上 x＝1 的点在 x 轴上时，a＋b＋c＝0；当图象上 x＝1 的点在 x 轴下方时，a＋b＋c＜0.同理，可由图象上 x＝－1的点判断 a－b＋c 的符号. 例4 将抛物线 y＝x2－6x＋5 向上平移 2 个单位长度，再向右平移 1 个单位长度后，得到的抛物线解析式是(　　) A．y