第二部分 专题训练十 等腰三角形的计算与证明问题-【领跑】2023中考数学二轮总复习压轴题

/学习之星/ 80 领跑-数学 　专题训练十　等腰三角形的计算与证明问题　 典 型 题 如图1,四边形ABCD 中,AB=AD❶,∠BAD=90°❷,∠D=90°+∠C❸,点E,F 分别在边BC,AD 上,∠BAE=∠AEF❹,EB=EF❺. (1)猜想∠B 与∠C 的数量关系,并证明; (2)求证:BC=AB+AF; (3)如图2,若AF=1,AB=2❻,AF>CD,求CD 的长. (典型题图1) (典型题图2) 【关键条件剖析】-读透题干 [1][2] 由四边形AB=AD,∠BAD=90°共顶点、等线段联想到旋转,构造全等三角形. [3] 根据∠D=90°+∠C 结合(1)问所求导角,利用 的内角和定理,求出∠B 与∠C 的数 量关系. [4] 利用∠BAE=∠AEF 得到AB∥ . [5] EB=EF 结合[4]联想到“等腰+平行→ ”基本图形,连接线段BF,由(1)结论中∠B 与∠C 的数量关系,想到以∠B 为顶角构造 三角形;或由结论“BC=AB+AF”想到截 长补短构造全等三角形. [6] 若AF=1,AB=2借助第(2)问的结论,利用相似或三角函数、勾股定理求CD 的长. 【思维可视化】-解题指导(请画图,并填空) 领跑-数学 81 拓 展 题 1.{一题多变}△ABC 为等边三角形,点D 和E 分别在AB 和AC 上,连接CD,BE 交于点F,AD=CE. (1)如图1,求∠BFD 的度数; (1题图1) (2)如图2,过点B 作BH⊥CD 于点H,求证:2FH+FE=CD; (1题图2) (3)如图3,点P 在线段CD 上,连接AP,且AP=CF,在图中找出与线段CP 相等的线段,并 证明; (1题图3) (4)如图4,已知G 为等边△ABC 外一点,连接BG,DG,且BG+FD=BF,BF=DG.求∠BGD 的度数; (1题图4) /学习之星/ 82 领跑-数学 (5)如图5,过点A 作AG∥BE,交CD 的延长线于点G,求证:BF=GF; (1题图5) (6)如图6,过点A 作AG∥BE,交CD 的延长线于点G,在AE 上取点K,连接DK,延长BE 和 DK 交于点M,若DK=CK,FM=2,BE=7,求CG 的长; (1题图6) (7)如图7,连接AF,当AF⊥BE 时,求 CF BF 的值; (1题图7) 领跑-数学 83 (8)如图8,连接AF,当AF⊥BE 时,CF=35,EF= 5,求DF 的长; (1题图8) (9)如图9,延长CD 至点P,连接AP,∠APC=30°,且CF= 2 9CP ,求PF BF 的值; (1题图9) (10)如图10,点D 在BC 的延长线上,点E 在AC 上,连接BE,∠BEC=2∠ADB,DF⊥AC 于 点F,且EF=BC.若CD=5,求BE 的长. (1题图10) /学习之星/ 84 领跑-数学 2.【问题提出】 如图1,在△ABC 中,AB=AC,D 是AC 的中点,延长BC 至点E,使DE=DB,延长ED 交AB 于点F,探究 AF AB 的值. 【问题探究】 (1)先将问题特殊化.如图2,当∠BAC=60°时,直接写出 AF AB 的值; (2)再探究一般情形.如图1,证明(1)中的结论仍然成立. 【问题拓展】 如图3,在△ABC 中,AB=AC,D 是AC 的中点,G 是边BC 上一点, CG BC= 1 n (n<2),延长BC 至 点E,使DE=DG,延长ED 交AB 于点F.求 AF AB 的值.(用含n 的式子表示) (2题图1) (2题图2) (2题图3) 领跑-数学 85 3.阅读下面材料: 小明遇到这样一个问题: 如图1,在△ABC 中,CD⊥AB 于点D,∠CAD=2∠BCD,求证:AC=AB. 小明发现,除了直接用角度计算的方法外,还可以用下面两种方法: 方法1:如图2,在AD 上截取DE=DB,连接CE. 方法2:如图3,延长BA 至点F,使得AF=AC,连接CF. (3题图1) (3题图2) (3题图3) (1)根据阅读材料,任选一种方法,证明AC=AB; 用学过的知识或参考小明的方法,解决下面的问题: (2)如图4,在四边形ABCD 中,∠ABC=90°,连接BD,∠ADB=45°,∠ADC =90°+∠A. ①猜想∠A 与∠C 的数量关系,并加以证明; ②求证:BC=AB+CD; ③如图5,若AB= 5,AD=3,AB<BD,求线段CD 的长. (3题图4) (3题图5) /学习之星/ 86 领跑-数学 4.如图,在△ABC 中,∠C=45°,点D 在边AC 上,且AB=BD,过点A 作AE⊥BD 于点E,交BC 于点F. (1)猜想∠ABD 与∠FAC 的数量关