第二部分 专题训练七 中点问题-【领跑】2023中考数学二轮总复习压轴题

/学习之星/ 60 领跑-数学 　专题训练七　中点问题　 基本模型 模型1如图1,等腰三角形中遇到底边上的中点,常联想“三线合一”的性质. (基本模型图1) 等腰三角形中有底边上的中点时,常作底边的中线,利用等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、高 线“三线合一”的性质得到:∠BAD=∠CAD,BD=CD,AD⊥BC,进而解决角度之间的相等、线段 相等及平行问题. 模型2如图2,直角三角形中遇到斜边上的中点,常考虑构造斜边上的中线. (基本模型图2) 直角三角形中有斜边中点时,常作斜边上的中线,利用“斜边上的中线等于斜边的一半”,可得CD= AD=BD= 1 2AB ,有时有直角无中点,要找中点,可简记为“直角+中点,等腰必呈现”. 作用:①证明线段相等或求线段长;②构造角相等进行等量代换. 模型3如图3,遇到三角形一边上的中点(中线或与中点有关的线段),考虑倍长中线法构造全等三角形. (基本模型图3) 当遇到中线或中点时,可以尝试用倍长中线法构造全等三角形,证明线段间的数量关系,该类型经 常会与中位线定理一起综合应用. 模型4如图4,遇见三角形一边的中点,常考虑构造中位线. (基本模型图4) 在三角形中,如果有中点,可构造三角形的中位线,利用三角形中位线的性质定理:DE∥BC,且 DE= 1 2BC ,△ADE∽△ABC,解决线段之间的相等或比例关系及平行问题. 领跑-数学 61 典 型 题 1.如图,在△ABC 中,AD⊥BC 于点D❶,M 是BC 的中点❷,∠B=2∠C❸,求证:AB=2DM. (典型题1题图) 【关键条件剖析】-读透题干 [1] AD⊥BC 于点D 得直角三角形,由模型2可以想到取AC 的中点N,连接DN,应用直角三角 形斜边中线等于斜边的一半DN= = = 1 2 . [2] M 是BC 的中点,与[1]的辅助线联系构造中位线 MN= 1 2 . [3] ∠B=2∠C,转移角等得等角,等角对等边得结论. 【思维可视化】-解题指导(请画图,并填空) /学习之星/ 62 领跑-数学 2.如图,在△ABC 中,AB=AC❶,D 是平面内一点,M 是BD 的中点❷,连接AM,作 ME⊥AM ❸. 若点E 在CD 的垂直平分线上❹,∠BAC=m°❺,求∠DEC 的度数.(用含m 的式子表示) (典型题2题图) 【关键条件剖析】-读透题干 [1] AB=AC 想到等腰三角形的性质或线段等量代换. [2] M 是BD 的中点,由模型3想到作倍长中线 MK=AM,得到四边形 是平行四边形. [3] ME⊥AM 结合[2]中 MK=AM,得垂直平分线,连接EA,EK,应用垂直平分线性质得到线段 = . [4] 点E 在CD 的垂直平分线上,应用垂直平分线性质得到线段 = ,说明 △ ≌△ . [5] ∠BAC=m°结合[2]中平行四边形线段的平行关系,倒角得到∠DEC= . 【思维可视化】-解题指导(请画图,并填空) 领跑-数学 63 拓 展 题 1.(1)如图1,若D 为等腰Rt△ABC 的斜边BC 的中点,点E,F 分别在边AB,AC 上,且∠EDF= 90°,连接AD,EF,当BC=52,FC=2时,求线段EF 的长; (2)如图2,若D 为等边△ABC 的边BC 的中点,点E,F 分别在边AB,AC 上,且∠EDF=90°, M 为EF 的中点,连接CM,当DF∥AB 时,探究ED 与CM 之间的数量关系,并证明; (3)如图3,若D 为等边△ABC 的边BC 的中点,点E,F 分别在边AB,AC 上,且∠EDF=90°, 当BE=6,CF= 4 5 时,请直接写出线段EF 的长. (1题图1) (1题图2) (1题图3) /学习之星/ 64 领跑-数学 2.小明遇到这样一个问题: 如图1,E 是BC 的中点,∠BAE=∠CDE.求证:AB=CD. 小明通过探究发现,如图2,过点 B 作BF∥CD,交 DE 的延长线于点F,再证明△CDE≌ △BFE,能够使问题得到解决. (1)根据阅读材料回答:△CDE≌△BFE 的条件是 ;(填“SSS”“AAS”“ASA”或“HL”) (2)写出小明的证明过程; 参考小明思考问题的方法,解答下面的问题: (3)如图,在△ABC 中,M 是BC 边上一点,CM=BM,点E,F 分别在AB,AC 上,连接EF,N 是线段EF 上一点,FN=EN,连接 MN 并延长,交AB 于点P,∠BAC=2∠BPM=2α.当 α=60°时, BE MN 的值为 . (1题图1) (1题图2) (1题图3) 3.{2-变式}-趁热打铁练习透 如图3,在四边形ABCD 中,AB=CD,M,N 分别是AD 和BC 的中 点,延