第二部分 专题训练六 一边一角问题-【领跑】2023中考数学二轮总复习压轴题

领跑-数学 53 　专题训练六　一边一角问题　 基本模型 满足“一边一角”的条件:AB=DE,∠A=∠D(如图1,图2),或AB=DE,∠A+∠EDG=180°(如 图1,图3). “一边一角”构造分为以下两种模型: 模型1一边一等角 (1)如图1,将相等的边(已知相等的边或所求相等的边)和相等的角(即AB=DE,∠A=∠D)放在 一个三角形(即△ABC)中; (2)如图2,以相等的一条线段(DE)的另一个端点(点 E)为顶点,作∠E=∠B,则△ABC≌ △DEF. 模型2一边一互补角 (1)如图1,将相等的边和互补的角(即 AB=DE,∠A+∠EDG=180°)放在一个三角形(即 △ABC)中; (2)如图3,延长GD,得到∠A=∠FDE,即将“一边一互补角”转化为“一边一等角”,以相等的一条 线段(DE)的另一个端点(点E)为顶点,作∠E=∠B,则△ABC≌△DEF. (基本模型图1) (基本模型图2) (基本模型图3) 典 型 题 综合与实践 问题情境:数学活动课上,王老师出示了一个问题: 如图1,在△ABC 中,D 是AB 上一点,∠ADC=∠ACB❶.求证:∠ACD=∠ABC. 独立思考: (1)请解答王老师提出的问题. 实践探究: (2)在原有问题条件不变的情况下,王老师增加下面的条件,并提出新问题,请你解答. “如图2,延长CA 至点E,使CE=BD❷,BE 与CD 的延长线相交于点F,点G,H 分别在BF, BC 上,BG=CD❸,∠BGH=∠BCF❹.在图中找出与BH 相等的线段,并证明.” 问题解决: (3)数学活动小组同学对上述问题进行特殊化研究之后发现,当∠BAC=90°时,若给出△ABC 中任 意两边长,则图3中所有已经用字母标记的线段长均可求.该小组提出下面的问题,请你解答. “如图3,在(2)的条件下,若∠BAC=90°❺,AB=4,AC=2❻,求BH 的长.” (典型题图1) (典型题图2) (典型题图3) /学习之星/ 54 领跑-数学 【关键条件剖析】-读透题干 [1] ∠ADC=∠ACB,由图形可知∠ADC=∠BCD+∠ .∠ACB=∠BCD+∠ . [2] CE=BD,∠ACD=∠ABC 满足一边一邻角即“SA”,只要构造一边即可构造 . [3] BG=CD 结合[2]构造的全等三角形,由全等三角形的性质转化线段. [4] ∠BGH=∠BCF 结合[2]构造的全等三角形,由全等三角形的性质转化角. [5][6] ∠BAC=90°,AB=4,AC=2,运用勾股定理计算线段. 【思维可视化】-解题指导(请画图,并填空) 领跑-数学 55 拓 展 题 1.阅读下面材料: 小明遇到这样一个问题:如图1,在△ABC 中,点D,E 分别在边AC,AB 上,BD,CE 相交于点 F,CE=BE,且∠BEC+∠BDC=180°.求证:BF=CA. 小明经探究发现,在AB 上取一点G(不与点E 重合),使CE=CG,连接CG(如图2),从而可证 △BEF≌△CGA,使问题得到解决. (1)请你按照小明的探究思路,完成他的证明过程; 参考小明思考问题的方法,解决下面的问题: (2)如图3,在等腰△ABC 中,AB=AC,点D,F 在直线BC 上,DE=BF,连接AD,∠DFG+ ∠D=∠BAC,过点E 作EG∥AC 交FG 于点G,请在图中找出一条和线段AD 相等的线段, 并证明. (1题图1) (1题图2) (1题图3) /学习之星/ 56 领跑-数学 2.如图,在四边形 ABCD 中,AB=BC,BE⊥AD,垂足为E,∠BCD-∠ABE=90°,过点C 作 CF∥AD,交对角线BD 于点F. (1)求证:CF=CD; (2)若∠CDB=2∠ABE,DE=3AE,求 BF DF 的值. (2题图) 领跑-数学 57 3.如图,在△ABC 中,AB=AC,∠BAC=90°,点 D 在边AC 上,点E 在边BA 的延长线上,且 CD=AE,过点A 作AF⊥CE,垂足为F,过点D 作BC 的平行线,交AB 于点G,交FA 的延长 线于点H. (1)求证:∠ACE=∠BAH; (2)在图中找出与CE 相等的线段,并证明; (3)若GH=kDH,求 AH AF 的值.(用含k的式子表示) (3题图) /学习之星/ 58 领跑-数学 4.如图1,在△ABC 中,点 D,E 分别在边BC,AC 上,BD=BA,点 F 在边BE 上,AF=EF, ∠AFE=∠ABD. (1)在图1中找出与∠EBC 相等的角,并证明; (2)求证:∠BEA=∠BED; (3)如图2,连接FD,点 M 在EF 上,∠EDM+∠EDF=180°,AE=kDE,求 AF EM 的值.(