第二部分 专题训练九 直角三角形的计算与证明问题-【领跑】2023中考数学二轮总复习压轴题

/学习之星/ 74 领跑-数学 　专题训练九　直角三角形的计算与证明问题　 典 型 题 如图1,在 Rt△ABC 中,∠BAC=90°,AD 是中线❶,BE⊥AD❷,垂足为 E,点 F 在AD 上, ∠ACF=∠DBE❸. (1)求证:∠ABD=∠CFD; (2)探究线段AF,DE 的数量关系,并证明你的结论; (3)如图2,延长BE 交CF 于点P,AB= 15AF❹,求 BE EP 的值. (典型题图1) (典型题图2) 【关键条件剖析】-读透题干 [1] ∠BAC=90°,AD 是中线,由直角三角形的性质可得 . [2] BE⊥AD 得∠BEA=90°,得到∠ABE=∠ . [3] ∠ACF = ∠DBE 结 合 [2]得 到 ∠ABD = ∠DBE + ∠ ,∠CFD = ∠ACF + ∠ . [4] AB= 15AF,设DE=a,EF=b,结合(2)的结论可表示AF,AE,AD,BD 及AB,根据勾股定 理求解. 【思维可视化】-解题指导(请画图,并填空) 领跑-数学 75 拓 展 题 1.如图,在Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AC=BC,点D,E 分别在AB,AC 的延长线上,点F 在DE 上,AF 与BC 相交于点G,FA=FD,连接BE,∠AFD=2∠ABE. (1)在图中找出与∠CAG 相等的角,并证明; (2)求证:FE=FG; (3)若EF=kFD(0<k<1),求 AB BD 的值.(用含k的式子表示) (1题图) /学习之星/ 76 领跑-数学 2.如图,在锐角△ABC 中,高AD 与高BE 相交于点F,∠EBC 的平分线BG 与AC 相交于点G,与 AD 相交于点H,且 H 是BG 的中点. (1)图中与∠DAC 相等的角是 ; (2)求证:EG=2DH; (3)若DH=1,AH=kBH,求CG 的长.(用含k的式子表示) (2题图) 领跑-数学 77 3.如图1,在△ABC 中,∠ACB=90°,∠A=∠ACD. (1)求证:AD=BD; (2)如图2,若∠A-∠CFE=45°,求证:∠FED=45°; (3)在(2)的条件下,若AC=BF,DE=2CE=2,求△ABC 的面积. (3题图1) (3题图2) /学习之星/ 78 领跑-数学 4.阅读下面材料,完成(1)~(3)题. 数学课上,老师出示了这样一道题:如图1,在△ABC 中,∠BAC=90°,点 D,E 在BC 上, AD=AB,AB=kBD 其中 2 2<k<1 ,∠ABC=∠ACB+∠BAE,∠EAC 的平分线与BC 相交 于点F,BG⊥AF,垂足为G.探究线段BG 与AC 之间的数量关系,并证明. 同学们经过思考后,交流了自己的想法: 小明:“通过观察和度量,发现∠BAE 与∠DAC 相等.” 小伟:“通过构造全等三角形,经过进一步推理,可以得到线段BG 与AC 之间的数量关系.” …… 老师:“保留原题条件,延长图1中的BG,与AC 相交于点H(如图2),可以求出 AH HC 的值.” (1)求证:∠BAE=∠DAC; (2)探究线段BG 与AC 之间的数量关系(用含k的式子表示),并证明; (3)如图2,求 AH HC 的值.(用含k的式子表示) (4题图1) (4题图2) 领跑-数学 79 5.如图,在Rt△ABC 中,∠ACB=90°,点D 在边AC 上,∠ABD=45°,DE⊥BD 交边AB 于点E, 延长ED 交BC 的延长线于点F,延长DE 至点G,使EG=DF,连接AG 并延长交CB 的延长线 于点H. (1)求证:∠DBF=∠ADG; (2)探究BF,AD,AG 三条线段之间的数量关系,并证明; (3)若DG=kDE,求 AD AH 的值.(用含k的式子表示) (5题图) 领跑-数学 187 证明:如图1,在AB 上取一点M,使AM=AE,连接 ME. ∴∠AME=∠AEM. ∵AB=AD,∴BM=ED. ∵∠A=180°-2α,∴∠AME=∠AEM=α. ∴∠BME=180°-∠AME=180°-α. ∵AD∥BC,∴∠EDF+∠C=180°. ∵∠C=α,∴∠EDF=180°-α.∴∠BME=∠EDF. ∵∠DEB=∠A+∠EBM=∠BEF+∠FED,∠A=∠BEF, ∴∠EBM=∠FED. ∴△BME≌△EDF.∴BE=EF. (4题图1) (3)如图2,在 AE 上截取AM=AB,连接 BM,过点 E 作 EN∥BM 交AB 的延长线于点N. ∵∠A=180°-2α,AB=AM,∴∠ABM=∠AMB=α. ∵EN∥BM,∴∠N=∠ABM=α. ∵AD∥BC,∠C=α,∴∠EDC=∠C=α. ∴∠N=∠EDC. ∵∠NBE = ∠A