第二部分 专题训练八 一线三等角问题-【领跑】2023中考数学二轮总复习压轴题

/学习之星/ 68 领跑-数学 　专题训练八　一线三等角问题　 基本模型 一、一线三直角 同侧型 异侧型 母子型 结论 △ABC≌△DEB △ABC∽△DEB 二、一线三锐角 同侧型 异侧型 中点型 (A 为ED 的中点) 结论 △ADB≌△CEA △ADB∽△CEA 领跑-数学 69 三、一线三钝角 同侧型 异侧型 中点型 (A 为ED 的中点) 结论 △ADB≌△CEA △ADB∽△CEA 典 型 题 【问题背景】 (1)如图1,△ABC 是等腰直角三角形,AC=BC❶,直线l过点C,AM⊥l,BN⊥l❷,垂足分别为 M,N.求证:△AMC≌△CNB; 【尝试应用】 (2)如图2,AC=BC,∠ACB=90°❸,N,B,E 三点共线,CN⊥NE❹,∠E=45°❺,CN=1,BN=2. 求AE 的长; 【拓展创新】 (3)如图3,在△DCE 中,∠CDE=45°❻,点A,B 分别在DE,CE 上,AC=BC,∠ACB=90°❼,若 tan∠DCA= 1 2 ❽,求AE AD 的值. (典型题图1) (典型题图2) (典型题图3) 【关键条件剖析】-读透题干 [1] △ABC 是等腰直角三角形,AC=BC 为全等三角形提供边等的条件. [2] AM⊥l,BN⊥l,得到∠ =∠ =90°=∠ACB,∠MAC=∠ ,为全等 三角形提供两个角等条件. [3] AC=BC,∠ACB=90°为全等三角形提供边等的条件. [4] 延长NC,EA 交于点H,过点A 作AM⊥NH 于点M,构造一线三等角模型,△CNB≌△ . [5] ∠E=45°构造等腰Rt△ENH. [6] ∠CDE=45°构造等腰Rt△AMD. [7] AC=BC,∠ACB=90°为全等三角形提供条件,可得△CNB≌△ . [8] tan∠DCA= 1 2 构造直角三角形,得到线段的数量关系AM= 1 2 . /学习之星/ 70 领跑-数学 【思维可视化】-解题指导(请画图,并填空) 领跑-数学 71 拓 展 题 1.小明遇到这样一个问题: 如图1,∠A=90°,∠B=30°,点D,E 分别在边AB,BC 上,且∠CDE=90°.当BE=2AD 时,图 1中是否存在与CD 相等的线段? 若存在,请找出并证明;若不存在,请说明理由. 小明通过探究发现,过点E 作AB 的垂线EF,垂足为F,能得到一对全等三角形(如图2),从而将 问题解决. (1题图1) (1题图2) (1题图3) 请回答: (1)小明发现与CD 相等的线段是 ; (2)证明小明发现的结论; 参考小明思考问题的方法,解决下面的问题: (3)如图3,在△ABC 中,AB=AC,∠BAC=90°,点D 在边BC 上,BD=2DC,点E 在边AD 上, 且∠BEC=135°,求 BE EC 的值. /学习之星/ 72 领跑-数学 2.如图1,四边形ABCD 是正方形,E 是边BC 上的点(与B,C 两点不重合),∠AEF=90°,且EF 交正方形的外角∠DCG 的平分线CF 于点F. (1)“AE=EF”成立吗? 如果成立,请写出证明过程;如果不成立,请说明理由; (2)如图2,E 是BC 的延长线上(除点C 外)的任意一点,其他条件不变,结论“AE=EF”仍然成 立吗? 如果成立,请写出证明过程;如果不成立,请说明理由. (2题图1) (2题图2) 3.{2-变式}-趁热打铁练习透 如图,四边形ABCD 是正方形,E 是边BC 上的点(与B,C 两点不重 合),点F 在正方形的外角∠DCG 的平分线上,且EF=AE.求证:∠AEF=90°. (3题图) 领跑-数学 73 4.在梯形ABCD 中,AD∥BC,∠ABC=2∠BCD=2α,点 E 在边AD 上,点 F 在边DC 上,且 ∠BEF=∠A. (1)∠BEF= ;(用含α的式子表示) (2)如图1,当AB=AD 时,猜想线段BE,EF 的数量关系,并证明; (3)如图2,当AB≠AD 时,将“点E 在边AD 上”改为“点E 在AD 的延长线上,且AE>AB, AB=mDE,AD=nDE”,其他条件不变,求 BE EF 的值.(用含m,n 的式子表示) (4题图1) (4题图2) 领跑-数学 185 ∴△NDE∽△GDC.∴ DN DG= NE GC. ∴ 3 2a a = NE 23a .∴NE=3a. ∵AN= 1 2a ,∴AE=NE-AN= 5 2a. ∴EC=AC-AE=AB-AE=3a- 5 2a= 1 2a. ∴ AE EC= 5 2a 1 2a =5. (5题图2) 6.解:(1)证明:∵AB=AC,AD=AE, ∴∠B=∠C,∠ADE=∠AE