专题07 导数与隐零点问题（讲）-备战2023年高考数学二轮复习核心考点精讲精练（新教材·新高考）

第一篇 热点、难点突破篇 专题07导数与隐零点问题（讲） 真题体验 感悟高考 1．（2021·全国·高考真题（理））已知且，函数． （1）当时，求的单调区间； （2）若曲线与直线有且仅有两个交点，求a的取值范围． 2．（2019·全国·高考真题（文））已知函数f（x）=2sinx－xcosx－x，f′（x）为f（x）的导数． （1）证明：f′（x）在区间（0，π）存在唯一零点； （2）若x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求a的取值范围． 3．（2019·全国·高考真题（理））已知函数. （1）讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点； （2）设x0是f(x)的一个零点，证明曲线y=ln x 在点A(x0，ln x0)处的切线也是曲线的切线. 总结规律 预测考向 （一）规律与预测 1.高考对导数的考查要求一般有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，如研究函数零点、证明不等式、恒成立问题、求参数等，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式、数列及函数单调性有机结合，设计综合题. 2.涉及导数与零点问题，主要有：函数零点个数的判断与证明、根据函数的零点个数或零点情况求参数的取值范围、与零点相关的不等式恒成立或证明问题等. 零点问题中另有一个比较重要的存在，就是隐零点问题.隐零点就是指一个函数，可以判断它在某个区间上有一个零点，但是这个零点具体是什么却无法计算或根本不需要计算，只需利用他的存在去解答题目. （二）本专题考向展示 考点突破 典例分析 考向一 利用“隐零点”研究极（最）值问题 【核心知识】 在利用导数研究极（最）值问题时，我们往往利用零点的存在性，对函数的零点设而不求，通过整体代换、构造函数等，再结合题目条件解决问题． 【典例分析】 典例1.【多选题】（2022·安徽·合肥一六八中学高三阶段练习）已知函数，若在区间上有零点，则的值可以为（    ） A． B． C． D．1 典例2. （2022·江苏淮安·高三期中）已知函数 (1)求曲线在处的切线方程； (2)已知，求证：存在实数使得在处取得最大值，且 (3)求证：有唯一零点 典例3.（2019·全国·高考真题（理））已知函数，为的导数．证明： （1）在区间存在唯一极大值点； （2）有且仅有2个零点． 【规律方法】 零点问题求解三步曲 (1)用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，列出零点方程f′(x0)＝0，并结合f(x)的单调性得到零点的取值范围． (2)以零点为分界点，说明导函数f′(x)的正负，进而得到f(x)的最值表达式． (3)将零点方程适当变形，整体代入最值式子进行化简证明，有时(1)中的零点范围还可以适当缩小． 考向二 利用“隐零点”确定参数取值范围 【核心知识】 利用零点存在性原理可以估算出隐零点的大小范围，然后再用隐零点的范围去估计所求函数（参数）的范围. 【典例分析】 典例4. （2022·河南南阳·高三期中（理））若方程存在唯一实根，则实数的取值范围是_____. 典例5.（2022·吉林·东北师大附中模拟预测）已知． (1)若在处的切线的斜率是，求当在恒成立时的的取值范围； (2)设，当时有唯一零点，求a的取值范围． 典例6.（2022·甘肃·靖远县第四中学高三阶段练习（理））已知函数. (1)若是的极值点，求的单调区间； (2)若关于的方程恰有一个解，求a的取值范围. 【总结提升】 已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解 考向三 利用“隐零点”完成不等式恒成立或证明问题 【核心知识】 1.不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；② 数形结合( 图象在 上方即可)；③ 讨论最值或恒成立；④ 讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围. 2.含参数的不等式恒成立的处理方法：①的图象永远落在图象的上方；②构造函数法，一般构造，；③参变分离法，将不等式等价变形为，或，进而转化为求函数的最值. 3.利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1），； （2），； （3），； （4），. 【典例分析】 典例7. （2022·浙江省新昌中学高三期中）若存在使对于任意不等式恒成立，则实数的最小值为（    ） A． B． C． D． 典例8.（2022·河北·高三期中）已知函