第六讲 二倍角与半角的正弦、余弦和正切公式-2023年上海市高一下数学沪教版必修二寒假精品讲义

第六讲 二倍角与半角的正弦、余弦和正切公式 【教学目标】 1. 理解二倍角、半角的正弦、余弦和正切公式的推导； 2. 掌握二倍角、半角的正弦、余弦和正切公式的基本应用； 3. 掌握二倍角、半角的正弦、余弦和正切公式变形应用． 【教学难点】二倍角、半角的正弦、余弦和正切公式的灵活应用． 知识梳理与典型例题 【难度系数：★★★ 参考时间：30 min】 在两角和的正弦、余弦和正切公式中，用代入，就得到二倍角的正弦、余弦和正切公式 ， ， . 由于，因此二倍角的余弦公式还可以表示为 . 【例1】已知，. 求、和的值. 【例2】使用表示. 【例3】证明：（1）； （2）. 在学习两角和与差的公式、二倍角公式的基础上，我们可以推导出更多的三角恒等关系. 如果已知角的正弦、余弦及正切值，用二倍角公式就可以得到角的相应值. 反之，如果已知角的正弦、余弦及正切值，也可以得到角的相应值. 【例4】用分别表示，及. 从例4中我们得到以下公式： ，，. 它们分别叫做半角的正弦、余弦和正切公式. 其中，公示右侧的“”号，根据角所在的象限由左侧相应的符号确定. 【例5】证明：（1）； （2）. A组 双基过关 【难度系数：★★   参考时间：15 min】 1. 化简 . 2. 已知，，则 . 3. 已知 . 4. 已知，，则的值为 . 5. 已知是第二象限的角，，则 . 6. 已知，则 . 7. 条件A：“”是条件B：“”的（ ） （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分的条件 （C）充要条件 （D）既不是充分条件，又不是必要条件 8. 求证： （1）； （2）. B组 巩固提高 【难度系数：★★★   参考时间：15 min】 1. 计算： . 2. 若，则=____________. 3. 已知，则 . 4. 化简： ，. 5. 对任意角，求的最大值. 6. 若，是第三象限的角，求的值. C组 拓展延伸 【难度系数：★★★★    参考时间：15 min】 1. 若，则 . 2. 若，则 . 3. 若，则 . 4. 计算： . 5. 已知，则 . 6. 已知等腰三角形底角的余弦值为，则顶角的正弦值是（ ） A. B. C. D. 7. 若，则的值为（ ） （A） （B） （C） （D） D组 综合训练 【难度系数：★★★   参考时间：15 min】 1. 化简：____________. 2. = . 3. 已知，则的值为（ ） A．18 B． C．16 D． 4. 已知，则的值为（ ） A． B． C． D． 5. 等于（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，计算下列各式的值. （1）； （2）. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六讲 二倍角与半角的正弦、余弦和正切公式 【教学目标】 1. 理解二倍角、半角的正弦、余弦和正切公式的推导； 2. 掌握二倍角、半角的正弦、余弦和正切公式的基本应用； 3. 掌握二倍角、半角的正弦、余弦和正切公式变形应用． 【教学难点】二倍角、半角的正弦、余弦和正切公式的灵活应用． 知识梳理与典型例题 【难度系数：★★★ 参考时间：30 min】 在两角和的正弦、余弦和正切公式中，用代入，就得到二倍角的正弦、余弦和正切公式 ， ， . 由于，因此二倍角的余弦公式还可以表示为 . 【例1】已知，. 求、和的值. 【解析】由，，得，， 于是， ， ， . 【例2】使用表示. 【解析】 ， . 【例3】证明：（1）； （2）. 【证明】（1） . （2）. 在学习两角和与差的公式、二倍角公式的基础上，我们可以推导出更多的三角恒等关系. 如果已知角的正弦、余弦及正切值，用二倍角公式就可以得到角的相应值. 反之，如果已知角的正弦、余弦及正切值，也可以得到角的相应值. 【例4】用分别表示，及. 【解析】， ，，从而. 从例4中我们得到以下公式： ，，. 它们分别叫做半角的正弦、余弦和正切公式. 其中，公示右侧的“”号，根据角所在的象限由左侧相应的符号确定. 【例5】证明：（1）；（2）. 【证明】（1）. （2）. A组 双基过关 【难度系数：★★   参