第九讲 正弦函数的图像与性质-2023年上海市高一下数学沪教版必修二寒假精品讲义

第九讲 正弦函数的图像与性质 【教学目标】 1. 了解正弦函数图像的绘制过程； 2. 掌握正弦函数的周期性、值域与最值、奇偶性和单调性等性质； 3. 运用正弦函数的周期性、值域与最值、奇偶性和单调性等性质解决相关问题. 知识梳理与典型例题 【难度系数：★★ 参考时间：45 min】 我们已经知道，对于任意一个角，都有唯一确定的正弦值与之对应，按照这个对应法则所建立的函数叫做正弦函数，记作. 正弦函数的定义域是实数集. 一、正弦函数的图像 对任意给定的实数，都有，. 这说明当的值增加或减少的整数倍时，的值会重复出现. 因此，只要作出正弦函数在区间上的图像，就可以得到正弦函数在上的图像. 下面，我们结合单位圆，利用描点法作的图像. 为了描出图像上的某个点，先在平面直角坐标系的轴上任取一点为圆心的单位圆与轴有两个交点，其中右边的一个交点记作. 设是此单位圆上一点，，作垂直于轴，其垂足为. 对比以坐标原点为圆心的单位圆中角的终边与单位圆的交点，可知点的纵坐标，而的长是. 在轴上任取点，将线段平移至的位置使点与点重合，从而点的坐标为，这样就得到了函数图像上的一点. 随着的变化，可以得到函数图像上的其他点. 方便起见，我们先将单位圆分为12等份（等份数越多，作出的图像越精确），使得角的弧度数依次取、、、、•••、，再借助圆得到对应的纵坐标，依次作出函数图像上的点、、、、•••、，用光滑的曲线将这些点连接起来，就得到正弦函数，的大致图像. 因为，，所以函数当，，•••时的图像与，的图像形状完全一样，只需将后者向右平移、、•••就可得到. 同样，当，，•••时的图像与，的图像形状也完全一样，只需将后者向左平移、、•••就可得到. 这样，就可以得到函数的图像. 正弦函数的图像通常称为正弦曲线. 、、、和是函数，图像的五个关键点. 我们描出这五个点，并用光滑的曲线将它们连接起来，就得到正弦函数的大致图像. 这种通过五个关键点作出正弦函数大致图像的方法，通常称为“五点（作图）法”. 【例1】用“五点法”作出函数，的大致图像，并写出使得的的取值范围. 二、正弦函数的性质 1. 周期性：. 对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取其定义域中的任意值时，有，且成立 ， 那么函数就叫做周期函数，而这个非零常数就叫做函数的一个周期. 对于一个周期函数，如果在它的所有周期中存在一个最小正数，那么这个最小正数就叫做函数的最小正周期. 【拓展】正弦函数的最小正周期为什么是？ 【证明】首先，显然成立，所以是的一个正周期； 其次，对于任意给定的（），因为，即，所以的图像与的图像绝不会相同. 这说明正弦函数绝对不会有小于的正周期，从而其最小正周期为. 【例2】求下列函数的最小正周期. （1） ； （2）. 一般地，函数，（其中、、为常数，且，）的最小正周期为. 今后，我们可以直接用使用这个结果来求这类函数的最小正周期. 【例3】已知函数（其中常数）的最小正周期是2，求的值. 【小结】，（其中、、为常数，且）的最小正周期为. 【例4】对于函数，当时，能够成立？如果成立，那么是不是的周期？为什么？ 2. 值域与最值 设角的终边与以原点为圆心的单位圆交于点，由正弦的定义，，则. 因此，正弦函数，的值域为，其最大值为，最小值为. 由于正弦函数，的最小正周期是，因此当且仅当，时，的取得最大值；当且仅当，时，的取得最小值. 【例5】求下列函数的最大值和最小值，并求出取得最大值和最小值时所有的值： （1）； （2）； （3）； （4）. 3. 奇偶性 对任意给定的，等式都成立，因此正弦函数是奇函数，从而其图像关于坐标原点中心对称. 【例6】判断下列函数的奇偶性，并说明理由： （1）； （2）； （3）. 4. 单调性 由于正弦函数是以为最小正周期的周期函数，因此在研究它的单调区间时，只需选择一个长度为的合适的区间进行考察. 方便起见，我们可以在上研究正弦函数的单调性. 显然，正弦函数在上严格增，在上严格减. 由于正弦函数的最小正周期是，因此正弦函数在（）上严格增，在（）上严格减. 【例7】（1）求函数的单调减区间； （2）求函数，的单调增区间. A组 双基过关 【难度系数：★★   参考时间：20 min】 1. 函数的图像与直线的交点坐标为 . 2. 函数的定义域为 . 3. 函数的最小正周期为 . 4. 函数的最小正周期为 . 5. 当函数取得最大值时， . 6. 若函数的最大值为3，最小值为1，则 . 7. 函数的值域是 . 8. 函数是 函数.（填写“奇”、“偶”、“既