第二讲 任意角的正弦、余弦、正切、余切-2023年上海市高一下数学沪教版必修二寒假精品讲义

第二讲 任意角的正弦、余弦、正切、余切 【教学目标】 1. 掌握任意角的正弦、余弦、正切、余切的定义以及各个象限的符号； 2. 理解单位圆的含义； 3. 掌握同角三角关系的关系式，并会应用其进行求值、化简与证明. 【教学重点】1. 同角三角关系公式的推导和应用；2. 正弦、余弦、正切、余切符号的确定和化简． 【教学难点】同角三角关系的应用. 知识梳理与典型例题 【难度系数：★★★ 参考时间：45 min】 一、任意角的正弦、余弦、正切、余切 1. 任意角的正弦、余弦、正切、余切 我们将锐角置于平面直角坐标系中，锐角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，那么它的终边在第一象限. 在角的终边上任取异于原点的一点，则点与原点的距离为 过P作x轴的垂线垂足为M，则线段OM的长度为x，线段MP的长度为y. 锐角的正弦、余弦、正切及余切的定义 ，， ，. 这说明锐角的正弦、余弦、正切及余切可以用角的终边上点的坐标来定义. 这样，就可以对任意给定的角，定义其相应的正弦、余弦、正切及余切. 在任意角的终边上任取异于原点的一点， 设其坐标为，并令，必有. 这样，就可以分别定义角的正弦、余弦、正切及余切为 ， ， （），（）. 【注意】当（），即角的终边位于轴上，无意义；而当（），即角的终边位于轴上时，无意义. 【例1】已知角的终边经过点，求角的正弦、余弦、正切及余切值. 【例2】已知角的终边经过点，求角的正弦、余弦、正切及余切值. 2. 任意角的正弦、余弦、正切、余切的符号 【注意】任意角的正弦、余弦、正切、余切的符号：一全二正弦，三切四余弦 【例3】若角满足，且，则角属于第几象限？ 二、单位圆 根据定义，角的正弦、余弦、正切及余弦值仅与角的大小有关，而与角的终边上的点的位置无关，因此我们可以用角的终边上到原点距离为1（）的点来确定角的正弦、余弦、正切及余切值. 半径为1个单位的圆称为单位圆. 本章中，如无特别说明，单位圆通常指在平面直角坐标系中以坐标原点为圆心，以1为半径的圆. 设角的终边与单位圆的交于唯一的一点，则根据定义可知， ，. 因此，单位圆上点的坐标必可以写为（）. 【例4】求的正弦、余弦和正切值. 三、同角三角关系 设角的终边经过异于原点的一点，并记. 由定义，有，，（），（）. 由，就有 . 当时，有 . 当时，有 . 当、都有意义时，有 . 【注意】（1）“同角”的概念与角的表达形式无关，如：，. （2）利用“平方关系”公式，最终需求平方根，会出现两解，应尽可能少用，若使用时，要注意讨论符号. 【例5】已知，且为第二象限的角，求，及. 【例6】已知，求、及. 【例7】已知，求下列各式的值： （1）； （2） 【例8】证明下列恒等式： （1）； （2）； （3）； （4）. A组 双基过关 【难度系数：★★   参考时间：20 min】 1. 若点P在的终边上，且，则点P的坐标是____________. 2. 在中，角的限制条件是________________________. 3. 计算：____________. 4. 若，，则是第__________象限角. 5. 若是第二象限的角，且，则角是 （ ） A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 6. 已知角的终边经过点，求角的正弦、余弦、正切及余切值. 7. 求角的正弦、余弦和正切值. 8. 已知，是第二象限角，求的其他三角函数值. B组 巩固提高 【难度系数：★★★   参考时间：25 min】 1. 如果满足条件　，则所在象限是________. 2. 已知集合，用列举法表示A= . 3. 若角是第二象限角，为其终边上一点且，则x的值为（ ） A. B. C. D. 答案：C 4. 已知角的终边上有一点（），求角的正弦、余弦、正切及余切值. 5. 根据任意角的正弦、余弦、正切和余切的定义证明： . 6.（1）已知，求； （2）已知，，求. C组 拓展延伸 【难度系数：★★★★    参考时间：30 min】 1. 若角的终边与直线重合，且，又是终边上一点，且，则等于…………………………………………………………………………………………………（ ） A. B. C. D. 答案：A 2. 已知是第三象限角，化简：. 3. 已知，求和的函数值. 4. 用单位圆求下列函数的定义域： （1）；