第12讲 圆的对称性-【帮课堂】2022-2023学年九年级数学下册同步精品讲义（北师大版）

第12讲 圆的对称性 ( 目标导航 ) 课程标准 1.掌握圆的轴对称性和中心对称性及其相关的性质； 2.理解在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦之间的对应关系，并运用它解决有关问题. ( 知识精讲 ) 知识点01 圆的对称性 1. 圆的对称性 圆的对称轴是任意一条过圆心的直线。 注意： ①圆的对称轴是直线，不能说直径是它的对称轴，而应该说“直径所在的直线”或“经过圆心的直线”是它的对称轴； ②圆的对称轴有无数条。 2. 圆是中心对称图形 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。实际上一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合，这种性质是圆的旋转不变性，圆的中心对称性是其旋转不变性的特例。 知识点02 圆心角、弧、弦的关系 1. 圆心角 角的顶点在圆心，角的两边与圆有两个交点，这样的角叫做圆心角。 2. 弦心距 圆心到弦的距离（圆心到弦的垂线段的长）叫做弦心距。 3. 圆心角、弧、弦的关系： （1）定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． （2）推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 注意： ①一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征； ②注意关系中不能忽视“同圆或等圆”这一前提. 实际上，在同圆或等圆中，相等的圆心角不但所对的弧相等，所对的弦相等，而且所对弦的弦心距也相等。同理，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 ( 能力拓展 ) 考法01 利用圆心角、弧、弦的关系求解 【典例1】如图，是的直径，点E在上，点D，C是的三等分点，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵点D，C是的三等分点， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选A． 【即学即练】如图，等腰三角形ABC的顶角，以腰AB为直径作圆，交BC于点D，交AC于点E，则弧DE的度数是（    ） A．18° B．36° C．72° D．80° 【答案】B 【详解】解：设圆心为，连接、， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即弧的度数为， 故选：B． 考法02 利用圆心角、弧、弦的关系求证 【典例2】如图所示，A、B、C、D是⊙O上的点，，下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】， ，，故A选项正确； ，即，故B选项正确； ， ，故D选项正确； 不能证明，故C选项错误； 故选：C． 【即学即练】如图，AB是⊙O的直径，弦MN∥AB，分别过M，N作AB的垂线，垂足为C，D．以下结论：①AC＝BD；②；③若四边形MCDN是正方形，则MN＝AB；④若M为的中点，则D为OB中点；所有正确结论的序号是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①② D．①②③④ 【答案】B 【详解】解：如图所示，连接OM，ON，BN， ∵MC⊥AB，ND⊥AB， ∴∠OCM=∠ODN=90°， ∵MN∥AB， ∴∠CMN+∠MCD=180°， ∴∠CMN=90°， ∴四边形CMND是矩形，   ∴CM=DN， 又∵OM=ON， ∴Rt△OCM≌Rt△ODN（HL）， ∴OC=OD，∠COM=∠DON， ∴OA-OC=OB-OD即AC=BD， ，故①②正确； 当四边形MCDN是正方形时，MC=CD， ∵OC=OD， ∴CM=2OC， ∴， ∴，故③错误； 若M是的中点， ∴∠AOM=∠MON=∠BON=60°， ∵ON=OB， ∴△ONB是等边三角形， ∵ND⊥OB， ∴OD=BD，故④正确， 故选B． ( 分层提分 ) 题组A 基础过关练 1．如图，是的直径，已知，，那么的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴； 故选C． 2．如图，在中，．若以点C为圆心，长为半径的圆与交于点D，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图所示：连接CD， ∵在中， 即的度数是 故选：B． 3．在⊙O中，弦AB等于圆的半径，则它所对应的圆心角的度数为（　　） A．120° B．75° C．60° D．30° 【答案】C 【详解】解：连接OA、OB，如图， ∵OA=OB=AB， ∴OAB为等边三角形， ∴∠AOB=60°， 即弦AB所对应的圆心角的度数为60°． 故选：C． 4．下列说法中，正确的个数为（　　） （1）在同圆或等圆中，弦相等则所对的弧相等； （2）优弧一定比劣弧长； （3）弧相等则所对的圆心角相等； （4）在同圆或等圆中，圆心角相等则所对的弦相等． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：（1）在同圆或等圆中，弦相等则所对的