第三章 圆-全章综合训练-【初中必刷题】2025-2026学年九年级下册数学同步课件(北师大版)
2025-12-14
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教辅
资源信息
| 学段 | 初中 |
|---|---|
| 学科 | 数学 |
| 教材版本 | 初中数学北师大版（2012）九年级下册 |
| 年级 | 九年级 |
| 章节 | 本章复习与测试 |
| 类型 | 课件 |
| 知识点 | 圆 |
| 使用场景 | 同步教学-单元练习 |
| 学年 | 2026-2027 |
| 地区（省份） | 全国 |
| 地区（市） | - |
| 地区（区县） | - |
| 文件格式 | PPTX |
| 文件大小 | 5.45 MB |
| 发布时间 | 2025-12-14 |
| 更新时间 | 2026-04-14 |
| 作者 | 众望益飞教育科技（北京）有限公司 |
| 品牌系列 | 初中必刷题&教材划重点·初中同步课件 |
| 审核时间 | 2025-11-17 |
| 下载链接 | https://m.zxxk.com/soft/54944380.html |
| 价格 | 3.00储值（1储值=1元） |
| 来源 | 学科网 |
摘要：
该初中数学课件聚焦九年级下册“圆”的核心内容，涵盖垂径定理、圆周角定理、切线性质与判定等考点，通过中考真题导入，衔接前后知识脉络，搭建从基础定理到综合应用的学习支架。
其亮点在于融入传统文化题（如《九章算术》弧田面积）和跨学科综合题（地理经纬度与弧长计算），以数学眼光观察现实世界，解析注重推理培养数学思维，结合生活实例用数学语言表达问题。学生能提升解题与应用能力，教师可借助丰富例题及解析优化教学。
内容正文：
数 学
九年级下册 BS
1
2
3
第一部分 教材同步分层练
4
第三章
圆
全章综合训练
5
刷中考
刷章测
目 录
鼠标轻轻一点，内容立即呈现
6
中考
考点1 垂径定理
（第1题图）
1.【2025四川宜宾中考】如图，是的弦，半径 于点
.若，,则 的长是( )
A
A.3 B.2 C.6 D.
【解析】，， .又
， 在中， ，故选A.
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2. 传统文化 【2025山东东营中考】《九章算术》是我国古代数学成就的杰
出代表，其中《方田》章给出计算弧田面积所用公式为弧田面积（弦×矢 矢
） ，弧田（如图）是由圆弧和其所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长
，“矢”等于半径长与圆心 到弦的距离之差.在如图所示的弧田中，“弦”为
8，“矢”为2，则 的值为__.
（第2题图）
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【解析】如图，作交于，交圆弧于.由题意得,, ，设
，，为半径， ，
在中，由勾股定理得， ，解得
，，.故答案为 .
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考点2 圆周角定理及其推论
（第3题图）
3.【2025重庆中考】如图，点，，在 上，
， 的度数是( )
B
A. B. C. D.
【解析】 ， .
故选B.
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（第4题图）
4.【2025山西中考】如图，为的直径，点,是
上位于异侧的两点，连接,.若,则 的度
数为( )
B
A. B. C. D.
【解析】如图，连接， 为直
径， ， ，
.故选B.
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5.【2025四川广安中考】如图，四边形是 的内接四边形，
，的半径为6，则 的长为_____.
【解析】如图，作直径，连接，则， 四
边形内接于， ，
，的半径为6， ，
.故答案为 .
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考点3外接圆与内切圆
6.【2024山东烟台中考】如图，是的直径，内接于，点 为
的内心，连接并延长交于点，是上任意一点，连接， ，
， .
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（1）若 ，求 的度数；
【解】是的直径， .又 ，
四边形是 的内接四边形，
， .
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利用圆周角定理的推论得到 ，再根据三角形的内角和定理求出
，然后利用圆内接四边形的对角互补求解即可；
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（2）找出图中所有与 相等的线段，并证明；
【解】 .证明如下：
连接 ，如图（1）.
点为 的内心，
， ，
，
， .
， ，
， .
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思路分析
连接，先由三角形的内心性质得到， ，然后得到
，，再利用等角代换得 ，最后利用
等角对等边可得结论；
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（3）若，，求 的周长.
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【解】过分别作，，，垂足分别为 ，
， ，如图（2）.
点为的内心，即为的内切圆的圆心，，，
分别为该内切圆与三边的切点，， ，
， ， ，
， ，
，的周长为 .
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思路分析
过分别作，，，垂足分别为，， .根据内切圆的性质
和切线长定理得到，， ，再根据解直角三角形求得
，由勾股定理求得 ，进而可求解.
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考点4 切线的性质与判定
（第7题图）
7.【2025福建中考】如图，与相切于点， 的
延长线交于点，且交于点 ．若
，则 的大小为( )
C
A. B. C. D.
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【解析】连接，，如图所示．是 的切线，
， ，
，是等边三角形， ，
，是等边三角形， ．故选C.
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（第8题图）
8.【2025安徽中考】如图，是的弦，与 相切于点
，圆心在线段上．已知 ，则 的大小为____
．
20
【解析】如图，连接为切线， .又
， ， .故答案为20.
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9.【2025湖南中考】如图，的顶点，在上，圆心
在边上， ，与相切于点，连接 .
（1）求 的度数；
【解】与相切于点，， ，
.
（2）求证: .
【证明】， ，
， ，
.
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10.【2025黑龙江齐齐哈尔中考】如图，内接于 ，
为的直径，点在的延长线上，连接 ，
，过点作，交于点 .
（1）求证：是 的切线；
【证明】如图,连接是的直径， ,
， ，
，即 ，为 的半径，
是 的切线.
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（2）若点是的中点，且，求 的半径.
【解】 点是的中点， ，
，.， .又
，,，在 中，
，，即的半径为 .
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考点5 正多边形和圆
11.【2025上海中考】已知平面内有一个角,一个圆与这个角的两边都有两个交点，
若此圆在角的边上截得的两条弦恰好是某正五边形的一边，那么这个角的度数为
_________度.
36或108
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【解析】如图，当角的顶点在上时，交 的两
边，截得, 恰好是正五边形的一个内角，
.当角的顶点在 外部时，
交的两边，截得, ，则
思路分析
分角的顶点在圆上和圆外两种情况求解即可.
，
， .综上,这
个角的度数为 或 .故答案为36或108.
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考点6弧长与扇形面积
12. 跨学科综合 【2025湖南中考】如图，北
京市某处位于北纬 （即 ），东经
，三沙市海域某处位于北纬
（即），东经 .设地球的半径约
为千米，则在东经 所在经线圈上的点 和点
之间的劣弧长约为( )
C
A.千米 B.千米 C.千米 D. 千米
【解析】由题意得 ， 点和点 之间的劣弧长约
为 （千米）.故选C.
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13.【2025山西中考】如图，在中， ,
,分别以点,为圆心、的长为半径画弧，与 ,
的延长线分别交于点,.若 ,则图中阴影部分的面
积为( )
D
A. B. C. D.
【解析】 ，，， ，
， .故选D.
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14.【2025江苏苏州中考】“苏州之眼”摩天轮是亚洲最大的水上摩天轮，共设有
28个回转式太空舱全景轿厢，其示意图如图所示.该摩天轮高 （即最高点离
水面平台的距离），圆心到的距离为 ，摩天轮匀速旋转一圈用时
.某轿厢从点出发，后到达点 ，此过程中，该轿厢所经过的路径
（即）长度为_____.（结果保留 ）
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【解析】 最高点离水面平台的距离为，圆心到的距离为 ，
的半径为 摩天轮匀速旋转一圈用时 ，该轿厢从
点出发，后到达点， ， 该轿厢所经过的
路径长度为.故答案为 .
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章测
一、选择题（每小题5分，共30分）
（第1题图）
1.【2025江苏淮安调研】如图，是的直径，点是 的中
点，弦与交于点.若 ，则 等于( )
A
A. B. C. D.
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【解析】连接，如图.是的直径， 点是
的中点，,， ， 是
的外角， .故选A.
（第1题图）
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（第2题图）
2.如图，在中，点为弦中点，连接，，点 是劣弧
上任意一点，若 ，则 的大小为( )
B
A. B. C. D.
（第2题图）
【解析】作劣弧所对的圆周角，连接，如图. 四边形
是 的内接四边形，
， ，
为的中点，， 平分
， ，故选B.
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（第3题图）
3. 跨学科综合 【2025山东枣庄二模】如图，有一个
底部呈球形的烧瓶，球的半径为 ，瓶内液体已经过半，
最大深度，则截面圆中弦 的长为( )
C
A. B. C. D.
【解析】连接，如图.由题意得， ，
， ，
， ，
, 截面圆中弦的长为 .故选C.
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关键点拨
熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键.
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（第4题图）
4.如图，四边形内接于，连接，.当四边形
是菱形时， 的度数是( )
B
A. B. C. D.
【解析】连接，， ，
， 四
边形是菱形， .由圆周角定理得，
， 四边形是 的内接四边形，
， ， ，
.故选B.
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（第5题图）
5.如图，是的切线，点是切点，连接交于点 ，
延长交于点，连接，若 ，，则
的长为( )
C
A. B. C. D.
【解析】如图，连接，，则是 的直
径， ，与相切于点 ，
， ， ，
是等边三角形， ，
，故选C.
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思路分析
连接，.由是的直径得 ， ，由切线的性
质得 ，则 ，所以 是等边三角形，则
，所以 .
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6.如图，是的直径，，是半径上的一动点，交 于
点，在半径上取点，使得，交于点，点， 位于
两侧，连接交于点，点从点出发沿向终点 运动，在整个运动过
程中，与 的面积和（阴影部分）的变化情况是( )
B
（第6题图）
A.一直减小 B.一直不变 C.先变大后变小 D.先变小后变大
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【解析】如图，连接，，，.设， ，
，， .
，， ，
，，, ，
， ，
.故在整个运动过程中，
与 的面积和一直不变.故选B.
， ，
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关键点拨
本题的解题关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，并学会用分
割法求面积.
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二、填空题（每小题5分，共25分）
（第7题图）
7.【2024重庆潼南区期末】如图，是 的直径，
，过点作的切线交的延长线于点，则
等于____.
【解析】连接，如图.， ，
切于点，， ，
.故答案为 .
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（第8题图）
8.如图，扇形的半径为1，分别以点，为圆心，大于
的长为半径画弧，两弧相交于点， ，则的长
_____（结果保留 ）.
【解析】由作图知平分 ,
扇形的半径是1， 的长
为.故答案为 .
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9.【2024四川内江质检】如图，正六边形内接于 ，点
在上，是的中点，则 的度数为____.
【解析】如图，连接,,, 六边形 是正六边
形，是的中点， ，
， ,
，故答案为 .
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（第10题图）
10.【2024江苏南通质检】如图，已知直线 与
轴、轴分别交于，两点，是以 为圆心，1为
半径的圆上一动点，连接，，则 面积的最大
值是______.
10.5
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【解析】 直线与轴、轴分别交于， 两
点，点的坐标为，点的坐标为 ，
，.在 中，由勾股定理得
.如图，过点作于 ，连
接 ，则
，
，， 圆上的点到直线 的最大距
离是，面积的最大值是 ，故答案为10.5.
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11.【2024河南郑州二七区模拟】如图，以为直径的中，点为 上一点，
连接，，过点作的切线交的延长线于点，作交 的延
长线于点.若，，则 的长为___.
（第11题图）
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【解析】连接，如图.是的切线， ，
是的直径， ，
，
， ，
关键点拨
熟练掌握切线的性质,相似三角形的判定和性质是解题的关键.
，，， ，
，， ，
，，，，，故答案为 .
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三、解答题（共45分）
12.【2025江苏苏州期末】如图，是半圆的直径，点为圆心， 是半圆上一点，
连接 .
（1）用无刻度的直尺和圆规作图：在半圆上确定一点，使得
（不写作法,保留作图痕迹）；
【解】如图，点 即为所求.
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（2）在（1）的条件下,连接，，若，，求四边形 的面积.
【解】如图,连接交于是直径， ，
，
，是 的中位线,
，
思路分析
连接交于,根据勾股定理求出的长,然后根据中位线定理求出 的长,进
而求出的长,即可求出四边形 的面积.
， 四边形 的面积为
.
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13.【2025河北石家庄三模】如图（1）是工业上用的一款切割铁皮的铡刀，图（2）
是其侧面示意图，其中矩形 是切割槽，刀刃与手柄下边缘在同一条弧上，即
，经测量可知,.将手柄向下压，直至所在的圆
与相切于点，如图（3）所示，此时恰好经过点 .
图（1）
图（2）
图（3）
图（4）
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（1）求 的半径.
图（1）
【解】如图（1），连接交于点，则 ，
，，.连接，设
的半径为，则 .由勾股定理，得
，，解得.故
的半径为 .
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（2）如图（4）所示，将手柄往上抬，使点恰好落在的延长线上，与 交
于点.经研究发现，此时与相切于点，连接，，求 的值.
图（2）
【解】如图（2），连接，则，.过点 作
于点.又 ， 四边形 是矩形，
，.连接， ，
则，又 ，
， .
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14.【2025陕西榆林一模】【问题探究】
（1）如图（1），在中，以为直径作，,分别交于点, ，
连接，若,，点是的中点，求 的长.
图（1）
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【解】如图（1），连接为直径，， 点是 的中
点，， ， ，
，， ，
.
图（1）
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【问题解决】
图（2）
（2）如图（2）是某生态公园的部分示意图， 是一条
笔直的小溪流，是小溪流旁的一块绿地，点, 在
上，, , .点
,,分别是边,,上的动点，连接,, ，
为使游客有更好的观景体验，需沿 修建玻璃桥，根据
规划要使,.为节约成本，要使玻璃桥 尽可能短.请问
玻璃桥的长度存在最小值吗？若存在，请求出玻璃桥 长的最小值；若不存在，
请说明理由.
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【解】存在. ， ， ，
， ， .
过作于， 如图（2），
，
， ，
， ，
，
.， ，
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，，，， 四点共圆.
如图（3），设圆心为点，半径为，连接，，，过点作 于
点 .
，
是 的直径.
， .
又， ，
， ，
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. 要使的值最小， 要使的值最小，而 是
直径， ，
当时， 取得最小值，
此时 是等腰直角三角形.
， ，
，
，故玻璃桥长的最小值为 .
图（2）
图（3）
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