第二部分 压轴题(六)-【金版教程】2023高考文科数学大二轮刷题首选卷全书word（老教材，全国统考版）

压轴题(六) 12．已知点F为抛物线E：x2＝4y的焦点，C(0，－2)，过点F且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，点P为抛物线上任意一点，若＝m＋n，则m＋n的最小值为(　　) A． B． C． D． 答案　A 解析　由题可得F(0，1)，则直线AB的方程为y＝x＋1，设A(x1，x1＋1)，B(x2，x2＋1)，设P，则＝，＝(x1，x1＋3)，＝(x2，x2＋3)，由＝m＋n，可得＝m(x1，x1＋3)＋n(x2，x2＋3)，则两式相减得＋2－x＝3m＋3n，则可得m＋n＝(x－2)2＋，则当x＝2时，m＋n取得最小值，为. 16．(2022·河南平顶山、许昌、济源高三第二次质量检测)设Sn为数列{an}的前n项和，满足S1＝1，Sn＋1＝Sn，n∈N＋，数列{bn}的前n项和为Tn，满足bn＝，则T2022＝________． 答案　－ 解析　由Sn＋1＝Sn，n∈N＋，得＝，因为S1＝1，所以···…··＝···…·×(n≥2), 所以Sn＝(n≥2)，又S1＝1满足上式，则Sn＝，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝n，又a1＝1满足上式，所以an＝n，所以bn＝＝·(－1)n·＝，所以T2022＝b1＋b2＋b3＋…＋b2021＋b2022＝×＋×＋×＋…＋×＋×＝×＝－. 20.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC＝，M是PC的中点． (1)求证：平面PAC⊥平面MBD； (2)若PB⊥PD，三棱锥P－ABD的体积为，求四棱锥P－ABCD的侧面积． 解　(1)证明：∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD， ∴PA⊥BD， 又底面ABCD是菱形，∴BD⊥AC， 又PA∩AC＝A，PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC， ∴BD⊥平面PAC， 又BD⊂平面MBD， ∴平面PAC⊥平面MBD. (2)设菱形ABCD的边长为x， ∵∠ABC＝，∴∠BAD＝， 在△ABD中， BD2＝AD2＋AB2－2AD·ABcos ∠BAD ＝2x2－2x2＝3x2， ∴BD＝x. ∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AD，PA⊥AB， 又AB＝AD，PB⊥PD， ∴△PBD为等腰直角三角形，PB＝PD＝x， ∴PA＝＝ ＝x， 又S△ABD＝AB·AD sin ∠BAD＝·x2·sin ＝x2， ∴V三棱锥P－ABD＝·S△ABD·PA＝·x2·x＝， ∴x＝2， ∴PA＝，PB＝PD＝， ∵∠ABC＝，∴AC＝AB＝2. 又PA⊥平面ABCD， ∴PC＝PB＝， ∴四棱锥P－ABCD的侧面积为2S△PAB＋2S△PBC＝2×××2＋2×× ×2＝2＋2. 21．(2022·四川成都高中毕业班第二次诊断性检测)已知函数f(x)＝ex－ax2－2ax，其中a∈R. (1)若函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，求a的取值范围； (2)若函数f(x)存在两个极值点x1，x2(x1<x2)，当x1＋x2∈时，求的取值范围． 解　(1)因为f(x)＝ex－ax2－2ax， 所以f′(x)＝ex－ax－2a， 因为函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增， 所以f′(x)＝ex－ax－2a≥0在[0，＋∞)上恒成立， 所以≥a在[0，＋∞)上恒成立． 令g(x)＝，x∈[0，＋∞)，因为g′(x)＝>0在[0，＋∞)上恒成立， 所以g(x)＝在[0，＋∞)上单调递增，故g(x)min＝g(0)＝， 所以a≤，即a的取值范围是. (2)若函数f(x)存在两个极值点，则f′(x)＝ex－ax－2a存在两个零点，即函数y＝ex与y＝ax＋2a的图象有两个交点， 令h(x)＝ex，则h′(x)＝ex，设h(x)图象上一点为(x0，ex0)， 过点(x0，ex0)的切线方程为y－ex0＝ex0(x－x0)， 将(－2，0)代入上式得－ex0＝ex0(－2－x0)⇒x0＝－1， 所以过(－2，0)的h(x)图象的切线方程为y－＝(x＋1)，即y＝x＋. 所以要使y＝ex与y＝ax＋2a的图象有两个交点，则a>， 此时f(x)有两个极值点x1，x2，且－2<x1<－1<x2. 由得则＝ex2－x1， 令t＝，则t∈(1，＋∞)，所以etx1－x1＋2t－2＝t， 所以tx1－x1＋2t－2＝ln t，即x1＋2＝，x2＋2＝， 所以x1＋x2＝－4. 令m(t)＝－4，m′(t)＝， 令n(t)＝t－2ln t－，n′(t)＝1－＋＝>0， 所以n(t)在(1，＋∞)上单调递增． 因为n(1)＝0，所以n(t)>0在(1，＋∞)上恒成立． 所以m′(t)>0在(1，＋∞)上恒成立． 所以m(t)在(1，＋∞)上单调递增． m(2)＝3ln 2－4，m(e)＝， 所以当m(t)∈时，t∈[2，e]， 所以的