第一部分 考点十一 三角恒等变换与解三角形-【金版教程】2023高考文科数学大二轮刷题首选卷全书word（老教材，全国统考版）

一、选择题 1．sin ＝(　　) A．－ B． C．－ D． 答案　D 解析　sin ＝sin ＝sin ＝，故选D. 2．(2022·广西南宁第一次适应性考试)已知sin ＋cos ＝－，则sin 2α＝(　　) A． B． C．－ D．－ 答案　C 解析　因为sin ＋cos ＝－，所以cos α＋sin α＝－，所以(cos α＋sin α)2＝cos2α＋2sinαcos α＋sin2α＝1＋sin2α＝，sin 2α＝－.故选C. 3．(2022·陕西西安高三第二次质量检测)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝，c＝2，cos A＝，则b＝(　　) A．－ B．－3 C．3 D． 答案　C 解析　∵a＝，c＝2，cos A＝，∴由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A，得5＝b2＋4－b，化简得3b2－8b－3＝0，即(3b＋1)·(b－3)＝0，解得b＝3或b＝－(舍去)，故选C. 4．(2022·哈尔滨第三中学第一次模拟)人们把最能引起美感的比例称为黄金分割．黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值称为黄金分割比．人们称底与腰之比为黄金分割比的三角形为最美三角形，它是一个顶角为36°的等腰三角形，由此我们可得sin 162°＝(　　) A． B． C． D． 答案　A 解析　如图，在△ABC中，∠BAC＝36°，AB＝AC，点D为BC的中点，底与腰之比为黄金分割比，所以∠BAD＝18°，＝，所以sin ∠BAD＝＝＝＝sin 18°，所以sin 162°＝sin (180°－18°)＝sin 18°＝.故选A. 5．(2022·东北三省三校高三第一次联考)已知＝－，则cos2＝(　　) A． B． C． D． 答案　A 解析　由＝－得tan α＝－3，cos2＝＝(1－sin 2α)，又因为sin 2α＝2sin αcos α＝＝＝＝－，所以(1－sin2α)＝×＝，故cos2＝.故选A. 6．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos2A－2cos A＋＝0，且满足a＝(b－c)，则△ABC的形状是(　　) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 答案　B 解析　cos 2A－2cos A＋＝2cos2A－1－2cosA＋＝0，解得cos A＝，A＝，则B＝－C，∵a＝(b－c)，由正弦定理得sin A＝(sin B－sin C)，∴＝，cos C＋sin C－sin C＝，sin ＝，∵0<C<，∴－<－C<，∴－C＝，∴C＝，B＝，∴△ABC是直角三角形．故选B. 7．(2022·四川成都石室中学专家联测卷(五))在锐角三角形ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知b2＋c2＝a2＋bc，b＝2，则△ABC的面积S的取值范围是(　　) A． B． C． D． 答案　C 解析　cos A＝＝，因为△ABC为锐角三角形，故A＝，S△ABC＝bc sin A＝c，当BC⊥AB时，c＝b cos A＝1，当BC⊥AC时，c＝＝4，故c∈(1，4)，所以S△ABC＝c∈.故选C. 8.如图，为测量某公园内湖岸边A，B两处的距离，一无人机在空中P点处测得A，B的俯角分别为α，β，此时无人机的高度为h，则A，B的距离为(　　) A．h B．h C.h D．h 答案　A 解析　如图所示，设点P在AB上的投影为O，在 Rt△POB中，可得PB＝， 由正弦定理得＝， 所以AB＝＝ ＝h＝h ＝h ＝h ＝h ＝h ＝h ＝h， 故选A. 二、填空题 9．(2022·贵州毕节高三诊断性考试(二))已知sin ＝，则cos ＝________． 答案　－ 解析　∵sin ＝，∴cos ＝cos ＝－cos ＝2sin2－1＝2×－1＝－. 10. (2022·山东潍坊一模)某市为表彰在脱贫攻坚工作中做出突出贡献的先进单位，制作了一批奖杯，奖杯的剖面图形如图所示，其中扇形OAB的半径为10，∠PBA＝∠QAB＝60°，AQ＝QP＝BP，若按此方案设计，工艺制造厂发现，当OP最长时，该奖杯比较美观，此时∠AOB＝________． 答案　 解析　设∠ABO＝θ，则AB＝20cosθ，PB＝10cos θ，故OP2＝100＋100cos2θ－2×10×10cosθcos ＝100＋50sin 2θ，故当2θ＝时，OP取得最大值，此时∠AOB＝. 11．已知函数f(α)＝，若f(α)·f＝－，且≤α<，则f(α)＋f的值为________． 答案　－ 解析　由f(α)＝ ＝＝－cos α，则f＝－cos ＝sin α，因为f(α)·