黑龙江省哈尔滨市第三中学校2022-2023学年高二上学期第三次验收考试数学试题

哈三中2022-2023学年度上学期 2021级高二学年第三次验收考试数学试卷 第Ⅰ卷（选择题，共60分） 一、选择题（共60分） （一）单项选择题（共8小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．椭圆的焦点坐标为（ ）． A．和 B．和 C．和 D．和 2．抛物线的准线方程为（ ）． A． B． C． D． 3．已知直线，，则“”是“”的（ ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．如图，是棱长为1的正方体，若P在正方体内部且满足，则P到直线AB的距离为（ ）． A． B． C． D． 5．已知、为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于A，B两点，若，则（ ）． A．6 B．5 C．5 D．8 6．过点作直线l，使l与双曲线有且仅有一个公共点，这样的直线l共有（ ）． A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 7．设点P是抛物线上的动点，点M是圆上的动点，d是点P到直线的距离，则的最小值是（ ）． A． B． C． D． 8．已知椭圆与双曲线有相同的焦点、，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点P为椭圆与双曲线的交点，且，则的最大值为（ ）． A． B． C． D．27 （二）多项选择题（共4小题，每小题5分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9．经过点的抛物线的标准方程为（ ）． A． B． C． D． 10．已知曲线C的方程为，则（ ）． A．当时，曲线C是半径为2的圆 B．存在实数k，使得曲线C是离心率为的双曲线 C．当时，曲线C为双曲线，离心率为 D．“”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的必要不充分条件 11．如图，正方体的棱长为2，E是的中点，则（ ）． A． B．点E到直线的距离为 C．直线与平面所成的角的正弦值为 D．点到平面的距离为 12．2022年4月16日9时56分，神舟十三号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”．如图，在平面直角坐标系中半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点，椭圆的短轴与半圆的直径重合，下半圆与y轴交于点G．若过原点O的直线与上半椭圆交于点A，与下半圆交于点B，则下列说法正确的有（ ）． A．椭圆的长轴长为 B．线段AB长度的取值范围是 C．面积的最小值是4 D．的周长为 第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上） 13．已知焦点在y轴上的双曲线C的渐近线方程为，则该双曲线的离心率为______． 14．圆与圆的公切线条数为______． 15．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线，直线l过抛物线的焦点，直线l与抛物线交于A，B两点，弦AB长为6，则直线l的方程为______． 16．已知曲线C的方程为，则下列说法正确的是______． ①曲线C关于坐标原点对称； ②y的取值范围是； ③曲线C是一个椭圆； ④曲线C围成区域的面积小于椭圆围成区域的面积． 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点相同，且过点． （1）求双曲线的渐近线方程； （2）求抛物线的标准方程． 18．已知圆C的方程为：，点． （1）求过点P的C的切线方程； （2）过点P的直线l被圆C所截得的弦长为，求直线l的方程． 19．已知双曲线与有相同的焦点，且经过点． （1）求双曲线C的方程； （2）若直线l与双曲线C交于A、B两点，且AB的中点坐标为，求直线l的斜率． 20．如图，正方形ABCD和直角梯形BEFC所在平面互相垂直，，，且，． （1）证明：平面DCF； （2）求二面角的余弦值． 21．已知动点P与平面上两定点，连线的斜率的积为定值． （1）求动点P的轨迹方程C； （2）设直线与曲线C交于M，N两点，判断是否存在k使得面积取得最大值，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由． 22．已知A，B分别是椭圆的左右顶点．椭圆长轴长为6，离心率为．O为坐标原点，过点，且与坐标轴不垂直的直线l交椭圆C于M、N两个不同的点． （1）求椭圆C的标准方程； （2）当直线l的斜率为正时，设直线AM、AN分别交y轴于点S、T，记，，求 的取值范围． 哈三中2022-2023学年度上学期高二学年 第三次验收考试数学试卷答案 1．C 2．A 3．C 4．C 5．B 6．D 7．C 8．D 9．AD 10．AD 11．AC 12．ABD 13． 14．3 15．或 16．① 17．（1） （2） 18．（1）或