第一部分 考点九 导数及其应用(二)-【金版教程】2023高考理科数学大二轮刷题首选卷全书word（老教材，全国统考版）

解答题 1．(2022·云南昆明“三诊一模”摸底诊断检测)设函数f(x)＝x2－ax ln x，a∈R. (1)若a＝1，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2)若存在x0∈[1，e]，使得f(x0)<－e(a＋e)成立，求a的取值范围． 解　(1)令a＝1，得f(x)＝x2－x ln x，x>0， ∴f′(x)＝2x－ln x－1， ∴f(1)＝1，f′(1)＝1， ∴曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝x. (2)∵f(x)<－e(a＋e)， ∴x2－ax ln x<－e(a＋e)， 化简得x－a ln x＋<0， 设g(x)＝x－a ln x＋， 则g′(x)＝1－－＝＝， ∵x∈[1，e]，∴x＋e>0， 令g′(x)＝0，得x＝e＋a. 若e＋a≤1，即a≤1－e时，g′(x)≥0，g(x)在[1，e]上单调递增， 只需g(1)＝1＋e2＋ae<0即可， 解得a<＝－e－； 若e＋a≥e，即a≥0时，g′(x)≤0，g(x)在[1，e]上单调递减， 只需g(e)＝e－a＋e＋a＝2e<0，此时不成立； 若1<e＋a<e，即1－e<a<0时， 当x∈[1，e＋a)时，g′(x)<0，此时g(x)单调递减； 当x∈(e＋a，e]时，g′(x)>0，此时g(x)单调递增， ∴g(x)在x∈[1，e]上的最小值为g(e＋a)＝2e＋a－a ln (e＋a)， 只需2e＋a－a ln (e＋a)<0， 即>ln (e＋a). ∵1－e<a<0， ∴<0，0<ln (e＋a)<1，则>ln (e＋a)不成立． 综上所述，a的取值范围为. 2．(2022·全国甲卷(理))已知函数f(x)＝－ln x＋x－a. (1)若f(x)≥0，求a的取值范围； (2)证明：若f(x)有两个零点x1，x2，则x1x2＜1. 解　(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝ex－＋1＝ex＋＝， 令f′(x)＝0，得x＝1. 当x∈(0，1)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减； 当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增． 所以f(x)≥f(1)＝e＋1－a， 若f(x)≥0，则e＋1－a≥0，即a≤e＋1， 所以a的取值范围为(－∞，e＋1]. (2)证法一：由题意知，f(x)的一个零点小于1，一个零点大于1. 不妨设0<x1＜1＜x2， 要证x1x2＜1，即证x1＜. 因为x1，∈(0，1)，即证f(x1)＞f， 因为f(x1)＝f(x2)，即证f(x2)＞f， 即证－ln x＋x－xe－ln x－＞0，x∈(1，＋∞)， 即证－xe－2>0. 下面证明x＞1时， －xe＞0，ln x－＜0. 设g(x)＝－xe，x＞1， 则g′(x)＝ex－＝ex－e＝＝. 设φ(x)＝(x＞1)， 则φ′(x)＝ex＝ex＞0， 所以φ(x)＞φ(1)＝e，而e＜e， 所以－e＞0，所以g′(x)＞0， 所以g(x)在(1，＋∞)上单调递增， 即g(x)＞g(1)＝0，所以－xe＞0. 令h(x)＝ln x－，x＞1， 则h′(x)＝－＝＝＜0， 所以h(x)在(1，＋∞)上单调递减， 即h(x)＜h(1)＝0，所以ln x－＜0. 综上，－xe－2＞0，即x1x2＜1得证． 证法二：不妨设x1<x2，则由(1)知0<x1<1<x2，0<<1. 由f(x1)＝f(x2)＝0，得－ln x1＋x1＝－ln x2＋x2，即ex1－ln x1＋x1－ln x1＝ex2－ln x2＋x2－ln x2. 因为函数y＝ex＋x在R上单调递增， 所以x1－ln x1＝x2－ln x2成立． 构造函数h(x)＝x－ln x，g(x)＝h(x)－h＝x－－2ln x， 则g′(x)＝1＋－＝≥0， 所以函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增， 所以当x>1时，g(x)>g(1)＝0，即当x>1时，h(x)>h， 所以h(x1)＝h(x2)>h， 又h′(x)＝1－＝，所以h(x)在(0，1)上单调递减， 所以0<x1<<1，即x1x2<1. 3．(2022·江西八所重点中学高三4月联考)已知函数f(x)＝x2－ax＋ln x(a∈R). (1)讨论函数f(x)的单调性； (2)设a≤，m，n分别是f(x)的极大值和极小值，且S＝m－n，求S的取值范围． 解　(1)由题知f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝x＋－a(a∈R)，∵x＋≥2， ∴当a≤2时，f′(x)≥0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增； ∴当a>2时，f′(x)＝， 由f′(x)＝0可得，x1＝，x2＝， 且x2>x1>0， 则f(x)在上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增． (2)由(1)知，欲使f(x)在(0，＋∞)有极大值和极