第二部分 压轴题(一)-【金版教程】2023高考理科数学大二轮刷题首选卷全书word（老教材，全国统考版）

压轴题(一) 12．(2022·安徽滁州第二次教学质量监测)正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P满足＝3，设过点A，C，C1，D1的球的半径为R1，过点A，P，B1，D1的球的半径为R2，则的值为(　　) A. B． C． D． 答案　D 解析　设正方体的棱长为a，过点A，C，C1，D1的球的球心是正方体体对角线的中点，则半径为R1＝a，如图1所示，设A1C与平面AB1D1交于点M，则A1C⊥平面AB1D1且M为△AB1D1的外接圆圆心， ∴过点A，P，B1，D1的球的球心在A1C上的点O处，连接AM，则CM⊥AM，其中截面A1ACC1如图2所示，△AB1D1为边长为a的等边三角形，则AM＝a，OA＝OP＝R2，设OM＝x，由OA2＝AM2＋OM2得R＝x2＋，CM＝＝ ＝a，则OC＝a－x，PC＝a，cos ∠A1CA＝， 在△OPC中，由余弦定理得x2＋＝＋－2×a××，解得x＝0，则R2＝a，即＝＝ .故选D. 16．(2022·山西吕梁临县第一中学高三期末)龙曲线是由一条单位线段开始，按下面的规则画成的图形：将前一代的每一条折线段都作为这一代的等腰直角三角形的斜边，依次画出所有直角三角形的两段，使得所画的相邻两线段永远垂直(即所画的直角三角形在前一代曲线的左右两边交替出现).例如第一代龙曲线(图1)是以A1A2为斜边画出等腰直角三角形的直角边A1A3，A3A2所得的折线图，图2、图3依次为第二代、第三代龙曲线(虚线即为前一代龙曲线).A1，A2，A3为第一代龙曲线的顶点，设第n代龙曲线的顶点数为an，由图可知a1＝3，a2＝5，a3＝9，则a4＝________；数列的前n项和Sn＝________． 答案　17　－ 解析　由题意可知，第n＋1代龙曲线可看作是将2个缩小的第n代龙曲线的首尾顶点相接，则an＋1＝2an－1，所以an＋1－1＝2(an－1)，所以数列{an－1}是等比数列，且首项为a1－1＝2，公比为2，则an－1＝2×2n－1＝2n，所以an＝2n＋1，则a4＝24＋1＝17，＝＝－，因此Sn＝＋＋…＋＝－. 20．(2022·新高考Ⅰ卷)已知点A(2，1)在双曲线C：－＝1(a>1)上，直线l交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0. (1)求l的斜率； (2)若tan ∠PAQ＝2，求△PAQ的面积． 解　(1)将点A的坐标代入双曲线方程得－＝1， 化简得a4－4a2＋4＝0，得a2＝2， 故双曲线C的方程为－y2＝1. 由题易知，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋m，P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 联立直线l与双曲线C的方程并整理得(2k2－1)x2＋4kmx＋2m2＋2＝0， 故x1＋x2＝－，x1x2＝. kAP＋kAQ＝＋＝＋＝0， 化简得2kx1x2＋(m－1－2k)(x1＋x2)－4(m－1)＝0， 故＋(m－1－2k)－4(m－1)＝0， 整理得(k＋1)(m＋2k－1)＝0， 又直线l不过点A，即m＋2k－1≠0，故k＝－1. (2)不妨设直线PA的倾斜角为θ，由题意知∠PAQ＝π－2θ， 所以tan ∠PAQ＝－tan 2θ＝＝2， 解得tanθ＝或tan θ＝－(舍去)， 由得x1＝， 所以|AP|＝|x1－2|＝， 同理得x2＝， 所以|AQ|＝|x2－2|＝. 因为tan ∠PAQ＝2， 所以sin ∠PAQ＝， 故S△PAQ＝|AP||AQ|sin ∠PAQ＝×××＝. 21．(2022·甘肃省第二次高考诊断考试)已知函数f(x)＝a ln x＋＋x(a∈R). (1)讨论f(x)的单调性； (2)若函数g(x)＝＋，证明：当a＝1时，f(x)>g(x). 解　(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝－＋1＝ ＝. 当a≥－1时，a＋1≥0，所以x＋(a＋1)>0恒成立， 所以f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增． 当a<－1时，分下面三种情况讨论： ①当a＝－2时，f′(x)＝≥0恒成立，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增； ②当a<－2时，－(a＋1)>1，令f′(x)>0，得0<x<1或x>－(a＋1). 所以f(x)在(0，1)和(－a－1，＋∞)上单调递增，在(1，－a－1)上单调递减； ③当－2<a<－1时，0<－(a＋1)<1，令f′(x)>0，得0<x<－(a＋1)或x>1， 所以f(x)在(0，－a－1)和(1，＋∞)上单调递增，在(－a－1，1)上单调递减． 综上，当a<－2时，f(x)在(0，1)和(－a－1，＋∞)上为增函数，在(1，－a－1)上为减函数； 当a＝－2时，f(x)在(0，＋∞)上为增函数； 当－2<a<－1时，f(x)在(0，－a－1)和(1，＋∞)上