专题10 空间向量与立体几何（讲+练）-【题型方法解密】2023年高考数学二轮常考点+重难点复习攻略（新高考地区专用）

专题10 空间向量与立体几何 目录 一 常规题型方法 1 题型一 空间几何体的体积与表面积 1 题型二 平行与垂直关系的判定 4 题型三 空间向量及其运算 5 题型四 线线角的向量求法 6 题型五 线面角的向量求法 9 题型六 二面角的向量求法 11 题型七 空间距离的向量求法 13 二 针对性巩固练习 15 练习一 空间几何体的体积与表面积 15 练习二 平行与垂直关系的判定 16 练习三 空间向量及其运算 16 练习四 线线角的向量求法 17 练习五 线面角的向量求法 18 练习六 二面角的向量求法 19 练习七 空间距离的向量求法 20 常规题型方法 题型一 空间几何体的体积与表面积 【典例分析】 典例1-1．（2022·陕西·长安一中高三期中（理））中国古代数学的瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体是上､下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）现有一个如图所示的曲池，垂直于底面，，底面扇环所对的圆心角为，弧长度是弧长度的倍，，则该曲池的体积为（    ） A． B． C． D． 典例1-2．（2022·河南商丘·高三阶段练习（理））如图，在体积为16的斜三棱柱中，P为棱上一点，三棱锥P-ABC的体积为4，则三棱锥的体积为（    ） A． B．2 C．3 D．4 典例1-3．（2022·广东·普宁市华侨中学高二期中）在正四棱台中， ，则该四棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 典例1-4．（2022·黑龙江·海伦市第一中学高三期中）已知四面体ABCD的所有顶点在球O的表面上，平面BCD，，，，则球O的体积为（    ） A． B． C． D． 【方法技巧总结】 1.公式： （1）柱体：表面积（），体积； （2）锥体：表面积 （），体积 ； （3）台体：表面积（圆台），体积（棱台），（圆台）； （4）球体：表面积，体积。 2. 技巧：台体的公式比较复杂，也可以用割补法补全为锥体来间接的求台体的体积和表面积；外接球这里主要训练了柱体和可还原为柱体的锥体的外接球，其他外接球问题会在重难点篇中逐一训练。 【变式训练】 1．（2022·辽宁抚顺·高三期中）在正三棱柱中，E，F分别是棱BC，的中点，若异面直线与EF所成的角是45°，则该三棱柱的侧面积与表面积的比值是（    ） A． B． C． D． 2．（2022·湖南·宁乡市教育研究中心高一期末）某中学的校友会为感谢学校的教育之恩，准备在学校修建一座四角攒尖的思源亭如图它的上半部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥，已知此正四棱锥的侧面与底面所成的二面角为30°，侧棱长为米，则以下说法不正确（    ） A．底面边长为6米 B．体积为立方米 C．侧面积为平方米 D．侧棱与底面所成角的正弦值为 3．（2022·四川·眉山市彭山区第一中学高二阶段练习（文））亭是我国古典园林中最具特色的建筑形式，它是逗留赏景的场所，也是园林风景的重要点缀．重檐圆亭（图1）是常见的一类亭，其顶层部分可以看作是一个圆锥以及一个圆台（图2）的组合体．已知某重檐凉亭的圆台部分的轴截面如图3所示，则该圆台部分的侧面积为（　　） A．m2 B．3.6m2 C．7.2m2 D．11.34m2 4．（2021·福建师大附中高二期中）已知A，B，C，D在球O的表面上，为等边三角形且其面积为，平面ABC，AD＝2，则球O的表面积为（    ） A． B． C． D． 题型二 平行与垂直关系的判定 【典例分析】 典例2-1．（2022·黑龙江·哈尔滨市第五十九中学校高二期中）已知，，是空间中三条不同的直线，，，为空间三个不同的平面，则下列说法中正确的是（    ） A．若，，，则 B．若，且，，则 C．若，，，则 D．若，，则 典例2-2．（2007·福建·高考真题（文））对于平面和共面的直线m、n，下列命题中真命题是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若m、n与所成的角相等，则 【方法技巧总结】 1.技巧：需结合平行与垂直的判定定理与性质推论来进行判断；在处理这类题型时也可以利用桌面、笔、手指、手掌等来充当线面进行判定，可以降低纯粹的空间想象，也比画图来的更快。 2. 注意：在进行演练的时候要注意摆放的顺序：先摆面面关系，再摆线面关系，最后摆线线关系；而且，在摆放的同时要在满足题意的前提下去旋转或平移线面，保证任何位置都正确。 【变式训练】 1．（2022·四川省乐山沫若中学高二期中（理））已知、是两条不同直线，是一个平面，则（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 2．（2022·北京二中高二阶段练习）设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列四个命题： ①若，则②若，则③若，则④若