专题15.1 将军饮马模型（压轴题专项讲练）-2022-2023学年八年级数学上册从重点到压轴（沪科版）

专题15.1 将军饮马模型 【典例1】古希腊有一个著名的“将军饮马问题”，大致内容如下：古希腊一位将军，每天都要巡查河岸同侧的两个军营A，B．他总是先去A营，再到河边饮马，之后，再巡查B营．他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？ 大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题． 如图2，作B关于直线l的对称点B′，连结AB′与直线l交于点C，点C就是所求的位置． 证明：如图3，在直线l上另取任一点C′，连结AC′，BC′，B′C′， ∵直线l是点B，B′的对称轴，点C，C′在l上， ∴CB＝　 　，C′B＝　 　， ∴AC+CB＝AC+CB′＝　 　． 在△AC′B′， ∵AB′＜AC′+C′B′， ∴AC+CB＜AC′+C′B′即AC+CB最小． 本问题实际上是利用轴对称变换的思想，把A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中C在AB′与l的交点上，即A，C，B′三点共线）．本问题可归纳为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”的问题的数学模型． 拓展应用：如图4，等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，BD平分∠ABC交AC于D，点P是BD上一个动点，点M是BC上一个动点，请在图5中画出PC+PM的值最小时P的位置．（可用三角尺） 【思路点拨】 利用轴对称的性质和三角形的三边关系可得；拓展应用中，在BA上截取BC'＝BC，连接CC'，可证得C、C'关于BD对称，将两条线段的和最小问题转化为垂线段最短来解决． 【解题过程】 证明：如图3，在直线l上另取任一点C′，连结AC′，BC，B′C′， ∵直线l是点B，B′的对称轴，点C，C′在l上， ∴CB＝CB'，C′B＝C'B'， ∴AC+CB＝AC+CB′＝AB'． 在△AC′B′， ∵AB′＜AC′+C′B′， ∴AC+CB＜AC′+C′B′即AC+CB最小． 故答案为：CB'，C'B'，AB'； 拓展应用：如图，在BA上截取BC'＝BC，连接CC'，过C'作C'M⊥BC于点M，交BD于点P，在BD上另取一点P'，连接P'C'，在BC上取点M'，连接P'M'， ∵BC＝BC'，BD平分∠CBC'， ∴BD垂直平分CC'， ∴PC＝PC'，P'C＝P'C'， ∴PC+PM＝PC'+PM＝C'M， ∵C'P'+P'M'＞C'M， ∴PC+PM＜P'C+P'M'， ∴点P即为所求． 1．（2021秋•海丰县期末）如图，OE为∠AOB的角平分线，∠AOB＝30°，OB＝6，点P，C分别为射线OE，OB上的动点，则PC+PB的最小值是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（2021秋•天津期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DE交BC于点D，垂足为E，M为DE上任意一点，BA＝3，AC＝4，BC＝6，则△AMC周长的最小值为（　　） A．7 B．6 C．9 D．10 3．（2020秋•自贡期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，面积是24；AC的中垂线分别交AB，AC的边于E，F；若点D是BC边的中点，点M是线段EF上的一动点，则△CDM周长的最小值为（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 4．（2021秋•官渡区期末）如图，已知点D、E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD＝6，点F是线段AD上的动点，则BF+EF的最小值为（　　） A．3 B．6 C．9 D．12 5．（2021秋•龙口市期末）如图，钝角三角形△ABC的面积是20，最长边BC＝10，CD平分∠ACB，点P，Q分别是CD，AC上的动点，则AP+PQ的最小值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 6．（2021秋•河东区期末）如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AD＝BC，P为直线BC上方的一个动点，△PBC的面积等于△ABC的面积的，则当PB+PC最小时，∠PBC的度数为（　　） A．30° B．45° C．60° D．90° 7．（2021秋•大连期末）如图，∠ABC＝30°，点D是它内部一点，BD＝m，点E，F分别是BA，BC上的两个动点，则△DEF周长的最小值为（　　） A．0.5m B．m C．1.5m D．2m 8．（2021秋•丛台区校级期末）如图，四边形ABCD中，∠BAD＝130°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分别找一点M，N，使△AMN的周长最小时，则∠ANM+∠AMN的度数为（　　） A．80° B．90° C．100° D．130° 9．（2021秋•罗庄区期末）如图，△ABC中，∠A＝30°，BC＝3，△ABC的面积9．点D、E、F分别是三边AB、BC、CA上的动点，则△DEF周长的最小值为（　　） A．5 B．6 C．8