第11讲 函数的应用(含零点问题)（知识总结+必会题型+好题必刷）-2022-2023学年高一数学上学期期末备考讲与练（北师大版2019必修第一册）

第11讲 函数的应用(含零点问题) 期末大总结 目 录 速 览 第一部分：必会知识结构导图 第二部分：考点梳理知识方法技巧大总结 第三部分：必会技能常考题型及思想方法大归纳 必会题型一：二次函数的零点问题 必会题型二：求函数的零点、判断个数及所在的区间 必会题型三：与函数零点有关的参数范围问题 必会题型四：函数的应用 第一部分：知识结构导图速看 第二部分：考点梳理知识方法技巧大总结 1．函数零点的概念：函数y＝f(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点．函数零点的几种等价说法： (1)方程f(x)＝0的实数根叫作函数f(x)的零点． (2)若y＝f(x)＝m(x)－n(x)，则函数f(x)的零点可看成函数m(x)与函数n(x)交点的横坐标． 2．函数零点存在性的判定：若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)＜0，则在区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)＝0在(a，b)内至少有一个实数解．注意以下几点： (1)该判定方法只是用于判定方程实数解的存在性，不能判断具体有多少个实数解． (2)逆命题不成立． 3．二次函数零点的分布常用定理：设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两实数根为x1 x2且x1≤x2． 定理一：x1＞0，x2＞0⇔； 定理二：x1＜0，x2＜0⇔ 定理三：x1＜0＜x2⇔＜0； 定理四：x1＝0，x2＞0⇔c＝0且＜0，(x1＜0，x2＝0⇔c＝0且＞0) 4．二分法：对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数的零点所在区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫二分法．利用二分法求零点近似值的步骤(给定精确度ε)： 第一步：确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)＜0； 第二步：求区间(a，b)的中点x1， 第三步：计算f(x1)． (1)若f(x1)＝0，则x1就是函数的零点； (2)若f(a)·f(x1)＜0，则令b＝x1[此时零点x0∈(a，x1)]． (3)若f(x1)·f(b)＜0，则令a＝x1[此时零点x0∈(x1，b)]． 第四步：判断是否达到精确度ε：即若|a－b|＜ε，则得到零点近似值a(或b)，否则重复第二至四步． 5．指数函数、幂函数、对数函数增长的比较：在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝ax(a＞1)，y＝logax(a＞1)，y＝xn(n＞0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且在不同的“档次”上，随着x的增大，y＝ax(a＞1)的增长速度越来越快，会超过并会远远大于y＝xn(n＞0)的增长速度，而y＝logax(a＞1)的增长速度会越来越慢．因此，总会存在一个x0，当x＞x0时，就有logax＜xn＜ax． 6．常见的函数模型 (1)直线模型：即一次函数模型y＝kx＋b(k≠0)，其增长特点是直线上升(x的系数k＞0)，通过画图可以很直观地认识它． (2)指数函数模型：y＝a·bx＋c(b＞0，b≠1，a≠0)，其增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快(b＞1，a＞0)，通常形象地称为指数爆炸． (3)对数函数模型：y＝mlogax＋n(m≠0，a＞0，a≠1)，其增长的特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢(a＞1，m＞0)． (4)幂函数模型：y＝a·xn＋b(a≠0)，其中最常见的是二次函数模型y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，其特点是随着自变量的增大，函数值先减小(或增大)，后增大(或减小)． (5)反比例函数模型：y＝(k＞0)型，增长特点是y随x的增大而减小(x＞0)． 在以上几种函数模型的选择与建立时，要注意函数图像的直观运用，结合图像特点，分析变量x的范围，同时还要与实际问题相结合，如取整等． 7．建立函数模型解决实际问题：在实际生活和社会实践中，常涉及一些量与量的关系，如果把这种函数关系写出来，就可以利用我们所学过的函数知识，进行研究，解决一些实际问题．数学建模的一般步骤是： (1)解读：领会题意，并把题中的文字语言译成数学语言； (2)建模：根据题目的要求，分析量与量之间的关系，建立恰当的函数模型并注意题目对变量的限制条件； (3)解模：对已经“数学化”的问题，用所学过的数学知识处理，求出解； (4)检验：将数学问题的解代入实际问题检验，舍去不合题意的解，并作答． 第三部分：必会技能常考题型及思想方法大归纳 必会题型一：二次函数的零点问题 1．(2022·黑龙江·哈尔滨市剑桥第三高级中学有限公司高三阶段练习)已知一元二次方程有两个实数根，，且，则m的值为(    ) A．-4 B．-5 C．-6 D．-7 2．[多选](2022