第10讲 对数与对数函数（知识总结+必会题型+好题必刷）-2022-2023学年高一数学上学期期末备考讲与练（北师大版2019必修第一册）

第10讲 对数与对数函数 期末大总结 目 录 速 览 第一部分：必会知识结构导图 第二部分：考点梳理知识方法技巧大总结 第三部分：必会技能常考题型及思想方法大归纳 必会题型一：对数的概念及运算 必会题型二：对数函数的概念、图象及应用 必会题型三：对数型复合函数有关的单调性、奇偶性及值域 必会题型四：与对数函数相关的综合问题 第一部分：知识结构导图速看 第二部分：考点梳理知识方法技巧大总结 1．对数的概念与性质 (1)定义：一般地，如果a(a＞0，a≠1)的b次幂等于N，即ab＝N，那么数b叫作以a为底N的对数，记作logaN＝b．其中a叫作对数的底数，N叫作真数．logaN读作以a为底N的对数． (2)通常以10为底的对数叫作常用对数，记作lgN；以e＝2．71828…为底的对数叫作自然对数，记作lnN． (3)基本性质：①负数没有对数，即logaN中真数必须大于零； ②1的对数为0，即loga1＝0； ③底数的对数为1，即logaa＝1； ④对数恒等式：a＝N，logaax＝x． 2．对数的运算性质：如果a＞0，a≠1，b＞0，b≠1，c＞0，c≠1，M＞0，N＞0，则： (1)loga(MN)＝logaM＋logaN； (2)loga＝logaM－logaN； (3)logaMn＝nlogaM(n∈R)，logMm＝logaM； (4)换底公式及常用结论：logab＝，logab＝，logab·logbc·logca＝1…． 3．对数函数的定义：一般地，函数y＝logax(a＞0，a≠1)叫作对数函数，a叫作对数函数的底数． 注：以10为底的对数函数y＝lgx为常用对数函数； 称以无理数e为底的对数函数y＝lnx为自然对数函数． 4．对数函数y＝logax(a＞0，a≠1)的图像和性质 a＞1 0＜a＜1 附加：底数大小规律 图像 性质 (1)定义域内是增函数 (2)①0＜x＜1时，y＜0； ②x＞1时，y＞0 (1)定义域内是减函数 (2)①0＜x＜1时，y＞0； ②x＞1时，y＜0 共同 性质 (1)定义域：(0，＋∞) (2)值域(－∞，＋∞) (3)过定点(1，0)，即x＝1时，y＝0 5．比较对数值大小的方法 6．对数函数综合性质 (1)定点规律：形如y＝logaf(x)＋b的函数图象恒过定点(x，b)，注：令f(x)＝1求x (2)对称规律：①y＝logaxy＝； ②y＝logaxy＝loga(－x)； ③y＝logaxy＝|logax|； y＝logaxy＝loga|x| 7．形如f(x)＝logag(x)的函数： (1)f(x)＝logxg(x)的定义域必须同时满足：①x＞0，x≠1；②g(x)＞0 (2)f(x)＝logag(x)的单调性[同增异减]： ①a＞1时f(x)与g(x)在定义域内的单调性相同 ②0＜a＜1时f(x)与g(x)在定义域内的单调性相反 (3)f(x)＝logag(x)的值域求解步骤： ①分解成y＝logau，u＝g(x)； ②求g(x)的定义域； ③求u的取值范围； ④利用y＝logau的单调性求解． 第三部分：必会技能常考题型及思想方法大归纳 必会题型一：对数的概念及运算 1．(2022·北京·人大附中高一阶段练习)已知，则的值是(    ) A．0 B．1 C．2 D．3 2．(2022·江苏省扬中高级中学高一期中)已知，则(   ) A． B． C． D． 3．(2021·上海中学高一期末)若，且)，则的值为________． 4．(2022·江苏·北大附属宿迁实验学校高一期中) (1)计算：． (2)已知 ，求的值． 5．(2022·吉林长春·高一期中)计算下列各题： (1) (2) 必会题型二：对数函数的概念、图象及应用 1．(2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测)若函数()的值域是，则实数 的取值范围是(    ) A． B． C． D． 2．(2022·四川·成都七中高一阶段练习)我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数性质，也常用函数解析式来琢磨函数的图象特征，函数与且在同一坐标系中的图象大致是(    ) A． B． C． D． 3．(2022·江苏·常州市教科院附属高级中学高一阶段练习)，，，则(    ) A． B． C． D． 4．(2022·湖南师大附中高三阶段练习)已知函数的定义域是，则函数的单调增区间为______. 5．(2022·上海·高一专题练习)已知函数，. (1)如果，求函数的值域； (2)求函数的最大值； (3)如果对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围． 必会题型三：对数型