专题集训（七）导数的综合应用-【核动力】2023高考数学大二轮复习高考必备B计划之专题集训（新教材）

专题集训(七)　导数的综合应用 [A组􀅰高考真题] 　利用导数研究函数的零点(方程的根) １．(２０２０􀅰全国Ⅰ卷(文),２０)已知函数f(x)＝ex－ a(x＋２)．　 (１)当a＝１时,讨论f(x)的单调性; (２)若f(x)有两个零点,求a的取值范围． ２．(２０２０􀅰全国Ⅲ卷,２１)设函数f(x)＝x３＋bx＋c,曲 线y＝f(x)在点 １２ ,f １２ æ è ç ö ø ÷ æ è ç ö ø ÷处的切线与y轴垂直． (１)求b; (２)若f(x)有一个绝对值不大于１的零点,证明: f(x)所有零点的绝对值都不大于１． 　利用导数研究不等式 ３．(２０２１􀅰新高考Ⅰ卷,２２)已知函数f(x)＝x(１－lnx)． (１)讨论f(x)的单调性; (２)设a,b为两个不相等的正数,且blna－alnb＝ a－b,证明:２＜１a＋ １ b＜e． ４．(２０２１􀅰新高考Ⅱ卷,２２)已知函数f(x)＝(x－１)ex －ax２＋b． (１)讨论函数f(x)的单调性; (２)从下面两个条件中选一个,证明:f(x)有一个 零点． ①１２＜a≤ e２ ２ ,b＞２a; ②０＜a＜１２ ,b≤２a． ５．(２０２０􀅰全国Ⅱ卷,２１(２)(３))已知函数f(x)＝ sin２xsin２x．　 (１)证明:|f(x)|≤３ ３８ ; (２)设 n∈N∗ ,证 明:sin２xsin２２xsin２４x􀆺sin２２nx ≤３ n ４n ． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —８９— 16 [B组􀅰一年模拟] １．(２０２２􀅰江苏省南京市宁海中学三二模)已知a＞０ 且a≠１,函数f(x)＝logax＋ １ ２ax ２． (１)若a＝e,求函数f(x)在x＝１处的切线方程; (２)若函数f(x)有两个零点,求实数a取值范围． ２．(２０２２􀅰河北省唐山市高三二模)已知函数f(x)＝ ３x x＋３ ,g(x)＝bsinx,曲线y＝f(x)和y＝g(x)在原 点处有相同的切线l． (１)求b的值以及l的方程; (２)判断函数h(x)＝f(x)－g(x)在(０,＋∞)上零点 的个数,并说明理由． ３．(２０２２􀅰河北省衡水市高三二模)已知函数f(x)＝ lnx＋a x (a∈R) (１)当a＝１时,求函数f(x)的极值: (２)若曲线y＝f(x)－x 有x１,x２(x１＜x２)两个 零点． (ⅰ)求a的取值范围; (ⅱ)证明:存在一组m,n(n＞m＞０),使得f(x)的定 义域和值域均为[m,n]． ４．(２０２２􀅰黑龙江省哈尔滨市第三中学高三二模)已知 函数f(x)＝ (lnx－１２ )x ２－６a(lnx－１)x,a为常 数,a∈R． (１)当a＝１３ 时,求f(x)在x＝e处的切线方程; (２)①讨论函数f(x)的单调性; ②∀x∈(e,＋∞),不等式f(x)＞２a２ 恒成立,求a 的取值范围． ５．(２０２２􀅰辽宁省鞍山市高三第二次质检)已知函数 f(x)＝alnx． (１)记函数g(x)＝x２－(a＋２)x＋f(x),当a＞２时, 讨论函数g(x)的单调性; (２)设h(x)＝f(x)－x２,若h(x)存在两个不同的零点 x１,x２,证明:２e＜a＜x２１＋x２２(e为自然对数的底数)． ６．(２０２２􀅰广东省高三模拟测试)已知f(x)＝lnx＋ax ＋１(a∈R),f′(x)为f(x)的导函数． (１)若对任意x＞０都有f(x)≤０,求a的取值范围; (２)若０＜x１＜x２,证明:对任意常数a,存在唯一的 x０∈(x１,x２),使得f′(x０)＝ f(x１)－f(x２) x１－x２ 成立． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —９９— 17 所以函 数h(x)在 [０,π２ ) 上 单 调 递 减,在 ( π２ , ３π ４ ] 上单调递增． 因为h(０)＝０,h(３π４ ) ＝ ３π ４ －１－ ２＜０ , 所以h(x)在 [０,３π４ ] 上的最大值为h(０)＝ ０．即f′(x)≤h(x)＝x－１－sinx＋cosx≤０ 在 [０,３π４ ] 上恒成立． 所以a的取值范围为[１,＋∞)． １５．解　(１)当 m＝２时,函数f(x)＝x ２ ２x ,f′(x) ＝x (２－xln２) ２x , 令f′(x)＞０,则０＜x＜ ２ln２ ,此时函数f(x)