专题集训（十四）用空间向量的方法解决立体几何问题-【核动力】2023高考数学大二轮复习高考必备B计划之专题集训（新教材）

专题集训(十四)　用空间向量的方法解决立体几何问题 [A组􀅰高考真题] 　利用空间向量求线线角 １．(２０２０􀅰江苏卷,２２)在三棱锥 A BCD 中,已 知 CB＝CD＝ ５,BD＝２,O 为BD 的 中点, AO⊥平面 BCD,AO＝２,E 为 AC 的中点． (１)求直线AB 与DE 所成角的 余弦值; (２)若点 F 在BC 上,满足 BF＝１４BC ,设二面角 F DE C的大小为θ,求sinθ的值． 　利用空间向量求线面角 ２．(２０２２􀅰天津卷,１７)直三棱 柱ABC－A１B１C１ 中,AA１＝ AB＝AC＝２,AA１ ⊥AB, AC⊥AB,D 为 A１B１ 的 中 点,E 为AA１ 的中点,F 为 CD 的中点． (１)求证:EF∥平面ABC; (２)求直线BE 与平面CC１D 所成角的正弦值; (３)求平面 A１CD 与平面CC１D 所成二面角的余 弦值． ３．(２０２２􀅰浙江卷,１９(２))如 图,已知 ABCD 和CDEF 都是直角梯形,AB∥DC, DC∥EF,AB＝５,DC＝３, EF＝１,∠BAD＝ ∠CDE ＝６０°,二面角F－DC－B 的平面角为６０°．设 M,N 分别为AE,BC的中点． 求直线BM 与平面ADE 所成角的正弦值． (第(１)题见第２讲 A组高考真题 T５) ４．(２０２２􀅰北京卷,１７(２))如图,在 三棱柱 ABC A１B１C１ 中,侧面 BCC１B１ 为正方形,平面BCC１B１ ⊥平面 ABB１A１,AB＝BC＝２, M,N 分别为A１B１,AC的中点． 再从条件①、条件②这两个条件 中选择一个作为已知,求直线AB 与平面BMN 所成 角的正弦值． 条件①:AB⊥MN; 条件②:BM＝MN． 注:如果选择条件①和条件②分别解答,按第一个解 答计分． (第(１)题见专题集训(十四)A组高考真题 T４) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —１２１— 39 ５．(２０２０􀅰全国Ⅱ卷,２０(２))如 图,已知三棱柱ABC－A１B１C１ 的 底 面 是 正 三 角 形,侧 面 BB１C１C是矩形,M,N 分别为 BC,B１C１ 的中点,P 为AM 上 一点,过B１C１ 和 P 的平面交 AB 于E,交AC于F． 设O 为△A１B１C１ 的中心．若AO∥平面EB１C１F,且 AO＝AB,求直线B１E 与平面A１AMN 所成角的正 弦值． (第(１)题见第２讲 A组高考真题 T８) 　利用空间向量求二面角 ６．(２０２２􀅰新高考Ⅱ卷,２０(２))如图,PO 是三棱锥P ABC 的高,PA＝PB,AB⊥AC,E 为PB 的中点． 若∠ABO＝∠CBO＝３０°,PO＝３,PA＝５,求二面角 C－AE－B 的正弦值． (第(１)题见第２讲[探究高考命题方向]命题点３ 例１)　 ７．(２０２１􀅰新高考Ⅰ卷,２０)如图, 在三 棱 锥 A BCD 中,平 面 ABD⊥平面BCD,AB＝AD,O 为BD 的中点． (１)证明:OA⊥CD; (２)若△OCD 是边长为１的等边三角形,点E 在棱 AD 上,DE＝２EA,且二面角E BC D 的大小为 ４５°,求三棱锥A BCD 的体积． ８．(２０２１􀅰全国乙卷,１８)如图,四 棱锥P ABCD 的底面是矩形, PD⊥底面ABCD,PD＝DC＝１, M 为 BC 的 中 点,且 PB ⊥ AM．　 (１)求BC; (２)求二面角A PM B 的正弦值． ９．(２０２１􀅰新高考Ⅱ卷,１９)在四棱 锥Q ABCD 中,底 面 ABCD 是正方形,若AD＝２,QD＝QA ＝ ５,QC＝３． (１)证明:平面QAD⊥平面ABＧ CD; (２)求二面角B－QD－A 的余弦值． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —２２１— 40 　利用空间向量解决探索性问题 １０．(２０１９􀅰北京卷,１６)如图,在四 棱锥P ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,AD ⊥CD,AD ∥BC, PA＝AD＝CD＝２,BC＝３．E 为PD 的中点,点F 在PC 上, 且PF PC＝ １ ３． (１)求证:CD⊥平面PAD． (２)求二面角F AE P 的余弦值． (３)设点G 在PB 上,且PGPB＝ ２ ３． 判断直线AG 是 否在平面AEF 内,说明理由． [B组􀅰一年模拟] 一、选择题 １