专题05 导数在切线中的相关运用-2023年高考数学毕业班二轮热点题型归纳与变式演练（全国通用）

专题05 导数在切线中的相关运用 切线的相关问题是历年高考中的热门考点，常在选填题中出现，偶尔也会出现在解答题中。特别是近几年高考中关于公切线的相关考点出现较多。导数在高中数学中，作为解题工具具有很重要的地位，导数的几何意义为解决曲线的切线和公切线提供诸多便利。本专题主要研究导数在切线中的相关运用，望能对同学们解决切线和公切线提供帮助。 一、热点题型归纳 题型1.求切线方程（已知切点和未知切点） 题型2.求切点（已知切线或斜率） 题型3.求参数（未知切点，已知切线） 题型4.切线的条数问题 题型5.切线与切线的关系 题型6.求公切线方程 题型7.求公切线的条数问题 题型8.与公切线有关的参数问题 题型9.切线的应用：距离问题 题型10.切线的应用：恒成立（存在）问题 题型11.切线的应用：零点（方程的根、交点）问题 二、最新模考题组练 三、十年高考真题练 【题型1】求切线方程（已知切点和未知切点） 【解题技巧】曲线切线方程的求法： (1)以曲线上的点(x0，f(x0))为切点的切线方程的求解步骤： ①求出函数f(x)的导数f′(x)；②求切线的斜率f′(x0)；③写出切线方程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，并化简． (2)如果已知点(x1，y1)不在曲线上，则设出切点(x0，y0)，解方程组得切点(x0，y0)，进而确定切线方程. 【典例分析】 1.（2022·江西高三月考）已知曲线．（1）求曲线在处的切线方程；（2）求曲线过点的切线方程． 【答案】（1）；（2）或． 【分析】（1）利用导数的几何意义，先求斜率，再求切线方程；（2）首先设切点坐标，利用切点表示切线方程，由直线过点，代入求切点坐标，即可求得切线方程. 【详解】（1）∵，∴在点处的切线的斜率． ∴曲线在点处的切线方程为，即． （2）设曲线与过点的切线相切于点，则切线的斜率． ∴切线方程为，即． ∵点在切线上，∴，即，∴， ∴，∴，解得或， 故所求的切线方程为或． 【变式演练】 1.（2022·河北高三模拟）已知是定义在上的奇函数，当时，，则曲线在点处的切线方程为___________. 【答案】 【解析】由奇函数的定义可得x＜0时f（x）的解析式，求得导数，可得切线的斜率，由点斜式方程可得所求切线方程． 【详解】由是上的奇函数，当x＜0时，,f（x）＝f（﹣x）＝， 则，可得，f（﹣1）＝0， 故在处的切线方程为y﹣0＝（x+1），即x-y+1＝0，故答案为：． 2．（2022·福建省连江县高三期中）（多选题）若直线与曲线满足下列两个条件：（i）直线在点处与曲线相切；（ii）曲线在附近位于直线的两侧，则称直线在点处“切过”曲线.则下列命题中，正确的有（ ） A．直线：在点处“切过”曲线： B．直线：在点处“切过”曲线： C．直线：在点处“切过”曲线： D．直线：在点处“切过”曲线： 【答案】AC 【分析】根据“切过”的定义和导数的几何意义，以及利用导数求函数的最值逐一判断选项即可. 【详解】A：由，得，得，直线是 曲线的切线，又当时，当时，满足曲线在附近位于直线的两侧，故A正确； B：由于，得，则，而直线的斜率不存在，在点处不与曲线相切，故B错误； C：由于，得，所以，直线是过点的曲线的切线，又时时，满足曲线在附近位于直线两侧，故C正确； D：由于，得，所以，曲线在处的切线为， 设，得， 当时，，当时，， 所以在上有极小值也是最小值，为， 所以恒在的上方，不满足曲线在点附近位于直线的两侧，故D错误.故选：AC． 3.（2022·安顺市高二月考）已知. （1）求曲线在点处的切线方程；（2）求曲线过原点的切线方程. 【答案】（1）；（2）. 【分析】(1)求出函数的导数并求出在点e处的导数值，再利用导数的几何意义即得； (2)由(1)的信息，设出切点坐标，写出切线方程并将代入计算即可得解. 【详解】（1）由求导得：，当时，， 由点斜式得曲线在点处的切线方程为，即， 所以曲线在点处的切线方程； （2）由题意知，点不在曲线上，设切点为， 由(1)知曲线在点B处切线斜率为， 切线方程为，即，而切线过点，即，解得， 于是得所求切线方程为，所以曲线过原点的切线方程为. 【题型2】求切点（已知切线或斜率） 【解题技巧】已知斜率求切点：已知斜率k，求切点(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k. 【典例分析】 1.（2022·玉林市高三期中）曲线在P0处的切线垂直于直线，则P0的坐标为（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】求函数的导数，令导数等于4解方程，求得点的横坐标，进而求得点的坐标. 【详解】曲线在P0处的切线垂直于直线，所以切线的斜率为4， 依题意，令，解得，， 故点的坐标为和，故选：C 【变式演练】 1.