假期作业（三）空间向量与空间角-【百汇大课堂·寒假作业】2022-2023学年高二数学假期作业（新教材）

假期作业 假期作业（三）空间向量与空间角 一知识梳理· …题相练· 1.两条异面直线所成的角 设两条异面直线a,b所成的角为0，它们的 一、选择题 方向向量分别为a,b,则cos0= ,范 1.直线11，l2的方向向量分别是y1,2,若1与 围 2所成的角为0，直线l1,l2所成的角为a,则 2.直线和平面所成的角 () (1)设直线和平面所成的角为0，且直线的方 向向量为a,平面的法向量为b,则sin0= A.a=0 B.a=π-0 ,范围 C.cos 0=cos a D.cos a=cos al (2)借助于向量求线面角关键在于确定直线 2.已知向量m,n分别是直线l和平面a的方向 的方向向量和平面的法向量，一定要注意向 向量和法向量，若cosm,n)= 2,则直线1 量夹角与线面角的区别和联系， 3.二面角的平面角 与平面α所成的角为 (1)设二面角a-l-B的平面角大小为0，且两 A.30° B.60° 个半平面的法向量分别为a,b,则|cos0|= C.120° D.150° ,范围 3.已知两平面的法向量分别为m=(0,1,0), (2)解题步骤如下： n=(0,1,1),则两平面所成的二面角的大小 ①建系：依据几何条件建立适当的空间直角 为 坐标系 A.45 B.135° ②求法向量：在建立的空间直角坐标系下求 C.45°或135° D.90° 两个面的法向量n1,n2. 4.(多选)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M ③计算：求n1与n2所成锐角0， 是A1B1的中点，点N在该正方体的棱上运 w9= 动，则下列说法正确的是 ( ④定值：若二面角为锐角，则为0；若二面角 A.当N为棱AA1中点时，MN∥B1D 为钝角，则为π一0. B.当N为棱AA1中点时，MN与平面 4.利用空间向量求角的基本方法 ABC1D1所成角为309 利用空间向量求角的基本思路是把求空间角转 C.有且仅有三个点N,使得B,N∥平 化为求两个向量之间的夹角.首先要找出并利 用空间直角坐标系或基向量（有明显的线面垂 面AMD 直关系时尽量建系)表示出向量；其次理清要求 D.有且仅有四个点N,使得MN与B,C所 角和两个向量夹角之间的关系。 成角为60 5 有礼商二寒假·数学 5.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2,BC (2)若点M在棱BC上，且二面角M-PA-C为 =2,DD1=,则AC与BD1所成角的余弦 30°，求PC与平面PAM所成角的正弦值. 值是 A.0 B.370 70 C.-370 70 D⑦o 70 6.已知正三棱锥P-ABC的侧面PAB上动点 Q的轨迹是以P为焦点，AB为准线的抛物 线，若点Q到底面ABC的距离为d,且PQ =2d,点H为棱PC的中点，则直线BH与 AC所成角的余弦值为 () A图 a网 10.如图，在直三棱柱ABC C385 85 D3v27 -A1B1C1中，AB=4, 14 AC=BC=3,D为AB 二、填空题 的中点. D (1)求点C到平面A1ABB1的距离； 7.已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1= (2)若AB1⊥A1C,求二面角A1-CD-C1的 2AB,则CD与平面BDC1所成角的正弦值 平面角的余弦值. 等于 8.二面角的棱上有A,B两点，直线AC,BD分 别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直 于AB.已知AB=4,AC=6,BD=8,CD= 217,则该二面角的大小为 三、解答题 9.如图，在三棱锥P-ABC中， AB=BC=2√2，AP=BP= CP=AC=4,O为AC的 中点。 (1)证明：PO⊥平面ABC; 6有农礼高二寒假·数学 5.BC[设等腰直角 △ABC的斜边BC=2, 则AD=BD=DC=1, 解得m=子，从而满足AG=子AP的点G即为所求。 以D为原点，DB,DC, DA所在的直线分别为 10.证明设AB=BC=CD=DA D x轴、y轴和之轴建立空 AS=1,又AS⊥平面ABCD. 间直角坐标系，如图 四边形ABCD是正方形. 所示， B .SA、AB、AD两两垂直，以A 则A(0,0,1),B(1,0,0),C(0,1,0),D(0,0,0),可得 为坐标原点，AB、AD、AS所在 AB=(1,0,-1),AC=(0,1,-1),所以AB·AC=1 直线分别为x轴、y轴、之轴，建 立如图所示的空间直角坐标系 ≠0，所以AB与AC不垂直，所以A不正确；因为AD Axyz, ⊥BD,AD⊥DC,且BD∩DC=D,所以AD⊥平面 则B(1,0,0),D(0,1,0), BCD,所以AD与平面BCD的法向量平行，所以B正 确：由BD=(-1,0,0),AC=(0,1,-1),可得BD· Ao00.s0.0.4(222） AC=0,所以