7.空间向量及其运算-【快乐假期】2022-2023学年高二数学寒假作业（新教材，北师大版）

　　七、空间向量及其运算　　　　　　　 1．空间向量的概念 (1)相等向量 ________的向量叫相等向量． (2)共线向量或平行向量 如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相________，则这些向量叫做共线向量或平行向量，记法：如a平行b记作：________. 2．两个向量的夹角 (1)a，b是两个非零向量，则其夹角记为________，范围是________． (2)若〈a，b〉＝90°，则称a与b________________，记作：__________. 3．公式：a·b＝________. 4．性质：(1)a·e＝______(其中e为单位向量)； (2)a⊥b，则a·b＝____________，反之也成立； (3)|a|2＝________. 5．坐标运算 设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2) (1)a＋b＝__________________________， a－b＝____________________， λa＝____________________， a·b＝____________________. (2)设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)， 则A＝______________________. (3)向量平行的坐标表示 a∥b(b≠0)⇔____________________. 或当b与三条坐标轴都不平行时，a∥b⇔________________________. (4)向量垂直的坐标表示 a⊥b⇔______________＝0. (5)向量长度与两个向量夹角的坐标计算公式设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则 |a|＝______________________. |b|＝______________________. cos 〈a，b〉＝________＝________. (6)空间两点间的距离公式 设P(x1，y1，z1)，Q(x2，y2，z2)，则 |P|＝________________________________________________________________________. 1．(1)方向相同且模相等　(2)平行或重合　a∥b　2.(1)〈a，b〉　[0，π]　(2)垂直　a⊥b 3．|a||b|cos θ　4.|a|cos θ　0　a·a　5.略 空间向量数量积运算与运算律 向量的数量积运算只适合交换律、加乘分配律及数乘结合律，不满足： (1)消去律：即由a·b＝b·c不能推出a＝c，即向量不能约分； (2)乘法结合律：即(a·b)c＝a(b·c)不一定成立，这是因为(a·b)c表示一个与c共线的向量，而a(b·c)表示一个与a共线的向量，但c与a不一定共线． 1．(2022·广东广州高二期中联考)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，－－＝(　　) A.　　　　　　　B. C. D. 2．(2022·湖南邵阳邵东一中高二期中)已知在空间四边形OABC中，点M在线段OA上，且OM＝2MA，点N为线段BC的中点．连接OB，设＝a，＝b，＝c，则＝(　　) A.a＋b－c B．－a＋b＋c C.a－b＋c D.a＋b－c 3．已知向量m＝(1,1,0)，n＝(－1,0,2)，且km＋n与2m－n互相平行，则实数k的值是(　　) A．－ B. C. D．－2 4．向量a＝(2,4，x)，b＝(2，y,2)．若|a|＝6且a⊥b，则x＋y的值为(　　) A．－3 B．1 C．3或1 D．－3或1 5．(多选)(2022·河北部分名校高二期中)已知a＝(1，－1，1)是直线l1的一个方向向量，b＝(2,2，－2)是直线l2的一个方向向量，则下列说法不正确的是(　　) A．a·b＝(2，－2，－2) B．l1∥l2 C．l1⊥l2 D．直线l1，l2夹角的余弦值为 6．(多选)(辽宁沈阳第一二中学2022高二期中)如图，一个结晶体的形状为平行六面体ABCD－A1B1C1D1，其中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中不正确的是(　　) A．AC1＝6 B．AC1⊥BD C．向量与的夹角是60° D．向量与所成角的余弦值为 7．设向量a＝(2,2m－3，n＋2)，b＝(4,2m＋1,3n－2)，且a∥b，则a·b的值为________． 8．如图，在△ABC和△AEF中，B是EF的中点，AB＝2，EF＝4，CA＝CB＝3.若·＋·＝7，则与的夹角的余弦值等于________． 9．(2022·山东师范大学附属中学高二期中)平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝4，AA1＝5，∠BAD＝∠BAA1＝∠DAA1＝60°，则AC1＝________.