三角函数和差角与二倍角公式 复习讲义-2022-2023学年高一上学期数学人教A版必修4

第五课 三角函数和差角与二倍角公式 【知识点梳理】 1、两角和与差公式： ； ； ． 正切公式变形：， ． 2、二倍角公式： ；变形： ； ． 【典型例题】 一、两角和差公式 题型一 给角求值 例题1：计算（ ） A． B． C． D． 例题2：计算（ ） A． B． C． D． 变式1：（ ） A． B． C． D． 变式2：求值：_____________． 题型二 给值求值 例题3：已知，则（ ） A． B． C． D． 例题4：已知均为锐角，，，则_____________． 变式3：已知，，且，，求． 题型三 化简、求值与证明 例题5：当时，（ ） A． B． C． D． 变式4：已知，求证：． ( A B C D E F ) 题型四 和差角公式的综合运用 例题6：在△ABC中，，则△ABC为（ ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判定 变式5：如图，将两边长相等的正方形拼在一起得长方形ABCD，则 　　 ． 二、二倍角公式 题型五 化简、求值 例题7：化简（ ） A． B． C． D． 例题8： 　 ． 变式6：求下列各式的值： （1）化简（ ） A． B． C． D． （2）求值（ ） A． B． C． D． 题型六 给值求值 例题9：已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 变式7：若，且，则（ ） A． B． 　 C． D． 【方法与技巧总结】 简单三角恒等变换能够解答的三类基本题型： （1）求值： ① “给角求值”：给出非特殊角求式子的值．仔细观察非特殊角的特点，找出和特殊角之间的关系，利用公式转化或消除非特殊角 ② “给值求值”：给出一些角得三角函数式的值，求另外一些角得三角函数式的值．找出已知角与所求角之间的某种关系求解 ③ “给值求角”：转化为给值求值，由所得函数值结合角的范围求出角． ④ “给式求值”：给出一些较复杂的三角式的值，求其他式子的值．将已知式或所求式进行化简，再求之． 注意点：灵活角的变形和公式的变形， 重视角的范围对三角函数值的影响，对角的范围要讨论 （2）化简： ① 化简目标：项数尽量少，次数尽量低，尽量不含分母和根号； ② 化简基本方法：用公式异角化同角、异名化同名、化正切为弦，特殊值与特殊角的三角函数值互化． （3）恒等式的证明方法灵活多样 ① 从一边开始直接推证得到另一边，一般地，如果所证等式一边比较繁而另一边比较简时多采用此法，即由繁到简； ② 左右归一法，即将所证恒等式左、右两边同时推导变形，直接推得左右两边都等于同一个式子； ③ 比较法，即设法证明："左边－右边=0" 或" =1"； ④ 分析法，从被证的等式出发，逐步探求使等式成立的充分条件，一直推到已知条件或显然成立的结论成立为止，则可以判断原等式成立． （4）无论是化简还是证明都要注意观察（角、名、式）→三变（变角、变名、变式） ① 角度的特点、“变角”主要指把未知的角向已知的角转化，是变换的主线，如α=(α+β)－β=(α－β)+β，2α=(α+β)+ (α－β)，2α=(β+α)－(β－α)，α+β=2·， = (α－)－(－β)等； ② 函数名的特点、“变名”指的是化切为弦； ③ “变式’指的是利用二倍角公式和降幂公式升幂降幂，利用和角和差角公式、合一变形公式展开和合并等． 【巩固练习】 1．已知则的值为（ ） A. B. C. D. 2．已知，，则（ ） A． B． C． D． 3．已知，，，是第三象限角，则的值是 （ ） A、 B、 C、 D、 4． 的值是（ ） A. B. C. D. 5．已知和都是锐角，且，，则的值是（ ） A、 B、 C、 D、 6．已知，且，则的值是 （ ） A、 B、 C、