专题04 复合（嵌套）函数综合问题-2023年高考数学毕业班二轮热点题型归纳与变式演练（全国通用）

专题04 复合（嵌套）函数综合问题 嵌套函数的零点数量、零点范围、参数范围等问题常见于高考和各类模拟试题的压轴小题。可以说是函数中最困难的部分都不为过，如果能把该板块内容理解透彻，那你对函数的理解有上了一个新的台阶。我们常见有两类嵌套函数分别是：“自（互）嵌套型”和“二次嵌套型”，解题的主要思路是:首先通过“换元”达到“解套”的目的，再利用数形结合的思想解决具体问题即可。 一、热点题型归纳 题型1.自（互）嵌套函数：“与”型问题 题型2.自嵌套函数：“”型问题 题型3.互嵌套函数：“”型问题 题型4.自嵌套函数：“”型问题 题型5.互嵌套函数：“”型问题 题型6.自嵌套函数：“”型 题型7.自嵌套函数：不动点与稳定点 题型8.自嵌套函数：其他类型 题型9. 二次嵌套函数：可因式分解型 题型10. 二次嵌套函数：参变分离与判别式、求根公式型 题型11. 二次嵌套函数：线性规划型 题型12. 二次嵌套函数：整数解问题 题型13. 二次嵌套函数：与函数性质综合型 二、最新模考题组练 三、十年高考真题练 【题型1】自（互）嵌套函数：“与”型问题 【解题技巧】1）嵌套函数自身互嵌型：f（f（x））；2）嵌套函数双函数互嵌型：f（g（x））。 主要步骤：1）换元，设t=f（x）或t=g（x），转化为f（t）=0； 2）解方程：f（t）=0，得到根t1，t2； 3）解方程：f（x）=t1或f（x）=t2。 【典例分析】 1．（2022·湖南·长郡中学高三期中）（多选题）定义域和值域均为（常数）的函数和图象如图所示，给出下列四个命题，那么，其中正确命题是（    ） A．方程有且仅有三个解 B．方程有且仅有三个解 C．方程有且仅有九个解 D．方程有且仅有一个解 【答案】AD 【分析】通过利用或，结合函数和的图象，分析每个选项中外层函数的零点，再分析外层零点对应的直线与内层函数图象的交点个数，即可得出结论. 【详解】解：对于A中，设，则由，即， 由图象知方程有三个不同的解，设其解为，，， 由于是减函数，则直线与函数只有1个交点， 所以方程，，分别有且仅一个解，所以有三个解，故A正确； 对于B中，设，则由，即，由图象可得有且仅有一个解，设其解为b，可知，则直线与函数只有2个交点， 所以方程只有两个解，所以方程有两个解，故B错误； 对于C中，设，若，即， 方程有三个不同的解，设其解为，，，设， 则由函数图象，可知，， 由图可知，直线和直线分别与函数有3个交点， 直线与函数只有1个交点，所以或或共有7个解， 所以共有七个解，故C错误；对于D中，设，若，即， 由图象可得有且仅有一个解，设其解为b，可知， 因为是减函数，则直线与函数只有1个交点， 所以方程只有1解，所以方程只有一个解，故D正确.故选：AD. 【点睛】对于复合函数的零点个数问题，求解思路如下：（1）确定内层函数和外层函数；（2）确定外层函数的零点；（3）确定直线与内层函数图象的交点个数分别为、、、、，则函数的零点个数为. 【变式演练】 1．（2022·陕西西安·三模（理））定义域和值域均为(常数)的函数和的图象如图所示，则方程解的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】由图象可得方程在上有三个实数解，结合函数的值域与单调性即得解. 【详解】由图(a)可知，方程在上有三个实数解， 由图(b)可知，函数在上单调递减，且值域为， 所以方程有三个实数解.故选：C. 【点睛】本题考查了函数图象的应用，考查了数形结合思想，属于基础题. 2．（2022·广东·顺德高三期中）已知函数的定义域和值域都是（其图象如图所示），函数，．定义：当且时，称是方程的一个实数根．则方程的所有不同实数根的个数是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】先由图象判断的根的个数及范围，再由求原方程的根的个数 【详解】当且，即 通过图象可知方程有4个非零实数解，分别设为，，，，可知： 又∵，，∴分别为，，，时都有两个与之对应， 因此方程的所有不同实数根的个数是8个．故选：D 【题型2】自嵌套函数：“”型问题 【解题技巧】解题的主要思想：换元法和数形结合 主要步骤：1）换元，设t=f（x），转化为f（t）=-k；2）解方程：f（t）=-k，得到根t1，t2； 3）解方程：f（x）=t1或f（x）=t2。 【典例分析】 1．（2022·陕西高三）已知函数，则函数的零点的个数是 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】利用换元法，先求得当时t的值；再带回原函数求得x的值． 【详解】因为的零点即为 令 ，代入上式得 当 时，，解得符合的条件，即 若，解得符合的条件 若，解得符合的条件 当 时，，解得符合的条件 若，解得不符合的条件 若，解得符