四川省南江中学2022-2023学年高三上学期12月阶段考试数学（理）试题

2022—2023学年高三上学期12月阶段考试 数学（理）试题 本试卷共4页，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、座位号和准考证号填写在答题卡上． 2．答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3．答主观题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，其中为自然对数的底数，则子集的个数为（ ） A 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 已知复数z满足，则等于（ ） A. －1 B. 0 C. 1 D. 2 3. 已知的展开式中二项式系数的和是1024，则它的展开式中的常数项是（ ） A. 252 B. C. 210 D. 4. 已知双曲线C：的一条渐近线与直线l：垂直，则双曲线C的离心率为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 的值是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 一个圆锥的侧面展开图是半径为的半圆，则此圆锥的内切球的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 一个袋子中有3个红球和n个绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出2个球．若取出2个球都是红球的概率为，则n为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 9. 已知平面向量满足，，与的夹角为，当时，的最大值为（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数在R上单调递增的概率为，且随机变量．则等于（ ） [附：若，则， ．] A. 0.1359 B. 0.1587 C. 0.2718 D. 0.3413 11. 设，在约束条件下，目标函数z=x+my最大值小于2，则m的取值范围为 A. B. C. （1，3） D. （3，+） 12. 已知在R上为单调递增函数，过点且平行于y轴的直线与函数的图象的交点为P，函数在点P处的切线交x轴于点B，当a变化时，的面积最小时，函数的解析式为（ ） A B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 若将正整数集中的偶数从小到大排列，它的前n项和为，则的前2023项的和为_____________． 14. 马老师从课外资料上抄录了一个随机变量的分布列如下表： 请小牛同学计算随机变量的数学期望尽管“”处完全无法看清，且两个“”处字迹模糊，但能判定这两个“”处的数值相同，据此，小牛同学给出了正确答案．即______． 15. 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：T）和年利润z（单位：千元）的影响．对近10年的年宣传费和年销售量的数据作了初步处理，得到y关于x的回归方程．且这种产品的年利润z与x、y的关系为；则年宣传费x为_____________时年利润的预报值最大． 16. 已知抛物线C：焦点为F，点N是抛物线C的对称轴与它的准线的交点，点M是抛物线上的任意一点，则的最大值为_____________． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17. 已知等比数列的前n项和为，且对，恒成立，，． （1）求数列的通项公式及前n项和； （2）设，求证：． 18. 已知． （1）求的最小正周期和最大值； （2）在△ABC中，三个内角满足，角A满足，，ABC的面积为，求证：ABC是直角三角形． 19. 已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，为底面的边的中点，且平面． （1）设为上底面的重心，试在平面内作出过点与平面平行的直线，并说明理由； （2）证明：（1）中的直线平面． 20. 若的图象过点，且在点P处的切线方程为． （1）求a、b、c的值； （2）设，求证：． 21. 已知点E、F的坐标分别为、，直线EP和FP相交于点P，且它们的斜率之积为． （1）求动点P的轨迹C的方程； （2）过定点任作一条与两坐标轴都不垂直的直线与轨迹C相交于A、B两点，求证；在x轴上存在一个定点M，使得MG为的一条内角平分线，并求点M的坐标． （3）设过点M与x轴垂直的直线为l，轨迹C上任一点N到点G的距离与点N到直线l的距离之比是否是定值？若为定值，求出这个定值；若不是定值，说明理由． （二）选考题：共10分