专题05 导数与不等式（讲）-备战2023年高考数学二轮复习核心考点精讲精练（新教材·新高考）

第一篇 热点、难点突破篇 专题05 导数与不等式（讲） 真题体验 感悟高考 1．（2022·全国·高考真题）设，则（    ） A． B． C． D． 2．（2019·天津·高考真题（理））已知，设函数若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为 A． B． C． D． 3．（2022·全国·高考真题（理））已知函数． (1)若，求a的取值范围； (2)证明：若有两个零点，则． 总结规律 预测考向 （一）规律与预测 1.高考对本部分的要求一般有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，如研究函数零点、证明不等式、恒成立问题、求参数等，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式、数列及函数单调性有机结合，设计综合题. 2.涉及导数与不等式问题，主要有：单变量不等式的证明、双变量不等式的证明、不等式恒成立时求参数的取值范围、含导数不等式的求解问题、比较函数值大小问题等 （二）本专题考向展示 考点突破 典例分析 考向一 导数与解不等式问题 【核心知识】 1.利用导数解决解不等式或取值范围问题的两个基本思路 (1)将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f ′(x)≥0(或f ′(x)≤0)恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意． (2)先令f ′(x)>0(或f ′(x)<0)，求出参数的取值范围后，再验证参数取“＝”时f(x)是否满足题意． 2.构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造，构造，构造，构造，，想到构造等.一般：（1）条件含有，就构造,（2）若，就构造，（3），就构造，（4）就构造，等便于给出导数时联想构造函数. 【典例分析】 典例1.（2022·宁夏六盘山高级中学高三阶段练习（理））若，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 典例2.（2021·河南·温县第一高级中学高三月考（理））函数的定义域是，，对任意，，则不等式的解集为（ ） A． B． C．或 D．或 典例3.（2022·上海市奉贤中学高三期中）定义在R上的函数的导函数为，若对任意的实数x，都有，且，则不等式的解集是_________ 【总结提升】 (1)根据导数计算公式和已知的不等式构造函数，利用不等关系得出函数的单调性，即可确定函数值的大小关系，关键是观察已知条件构造出恰当的函数． (2)含有两个变元的不等式，可以把两个变元看作两个不同的自变量，构造函数后利用单调性确定其不等关系． 考向二 利用导数比较大小 【核心知识】 利用函数的单调性、构造函数法（常见构造函数法见考向一）等，是应用导数比较大小的常见方法. 【典例分析】 典例4.（2021·全国·高考真题（理））设，，．则（    ） A． B． C． D． 典例5.（2022·广东·深圳实验学校光明部高三期中）定义在上的偶函数满足,当时,,则（    ） A． B． C． D． 典例6.（2022·湖北·荆门市龙泉中学高三阶段练习）已知，，且，则（    ） A． B． C． D． 【总结提升】 从上述典型例题发现，无论是比较函数值的大小，还是比较某些自变量值的大小，应用导数研究函数的单调性，构造函数，是常见方法，也是基本方法． 考向三 不等式恒成立问题中求参数值（范围） 【核心知识】 1.不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；② 数形结合( 图象在 上方即可)；③ 讨论最值或恒成立；④ 讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围. 2.含参数的不等式恒成立的处理方法：①的图象永远落在图象的上方；②构造函数法，一般构造，；③参变分离法，将不等式等价变形为，或，进而转化为求函数的最值. 3.利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1），； （2），； （3），； （4），. 【典例分析】 典例7.（2022·河南驻马店·高三期中（理））已知函数，在区间内任取两个实数，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 典例8.（2022·湖北·高三期中）若不等式对任意恒成立，则a的取值范围是_______________. 典例9.（中学生标准学术能力诊断性测试2022-2023学年高三上学期11月测试）已知，，若对于任意，都有，则实数的取值范围为______. 【规律方法】 1.不等式的恒成立问题，往往可转化为函数的最值的符号来讨论，也可以参变分离后转化不含参数的函数的最值问题，转化中注意等价转化. 2. 在解题过程中，必要时可作出函数图象，借助几何图形直观分析转化.通过围绕参数分类讨论不等式是否成立，不失为一种好