专题06 导数与函数的零点问题（讲）-备战2023年高考数学二轮复习核心考点精讲精练（新教材·新高考）

第一篇 热点、难点突破篇 专题06 导数与函数的零点问题（讲） 真题体验 感悟高考 1．（2021·北京·高考真题）已知函数，给出下列四个结论： ①若，恰 有2个零点； ②存在负数，使得恰有1个零点； ③存在负数，使得恰有3个零点； ④存在正数，使得恰有3个零点． 其中所有正确结论的序号是_______． 2．（2019·全国·高考真题（文））已知函数.证明： （1）存在唯一的极值点； （2）有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数. 3．（2021·浙江·高考真题）设a，b为实数，且，函数 （1）求函数的单调区间； （2）若对任意，函数有两个不同的零点，求a的取值范围； （3）当时，证明：对任意，函数有两个不同的零点，满足. (注：是自然对数的底数) 总结规律 预测考向 （一）规律与预测 1.高考对导数的考查要求一般有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，如研究函数零点、证明不等式、恒成立问题、求参数等，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式、数列及函数单调性有机结合，设计综合题. 2.涉及导数与零点问题，主要有：函数零点个数的判断与证明、根据函数的零点个数或零点情况求参数的取值范围、与零点相关的不等式恒成立或证明问题等 （二）本专题考向展示 考点突破 典例分析 考向一 函数零点个数的判断与证明 【核心知识】 解函数零点问题的一般思路 (1)对函数求导． (2)分析函数的单调性，极值情况． (3)结合函数性质画函数的草图． (4)依据函数草图确定函数零点情况． 【典例分析】 典例1.（2022·河南·驻马店市第二高级中学高三阶段练习（文））已知函数，则方程的解的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 典例2. （2022·吉林长春·模拟预测）已知函数，． (1)求函数的值域； (2)讨论函数的零点个数． 典例3.（2019·全国·高考真题（理））已知函数，为的导数．证明： （1）在区间存在唯一极大值点； （2）有且仅有2个零点． 【规律方法】 1. 利用导数判断或证明函数零点个数的策略:借助导数研究函数的单调性、极值后，通过极值的正负以及函数的单调性判断函数图象的走势，从而判断零点个数. 2.常用方法： （1）直接法：直接研究函数，求出极值以及最值，画出草图．函数零点的个数问题即是函数图象与x轴交点的个数问题． （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题； （3）分离参数法：分离出参数，转化为a＝g(x)，根据导数的知识求出函数g(x)在某区间的单调性，求出极值以及最值，画出草图．函数零点的个数问题即是直线y＝a与函数y＝g(x)图象交点的个数问题．只需要用a与函数g(x)的极值和最值进行比较即可． 考向二 根据函数零点的情况求参数取值范围 【核心知识】 利用函数零点的情况求参数范围的方法 (1)分离参数(a＝g(x))后，将原问题转化为y＝g(x)的值域(最值)问题或转化为直线y＝a与y＝g(x)的图象的交点个数问题(优选分离、次选分类)求解； (2)利用零点的存在性定理构建不等式求解； (3)转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解. 【典例分析】 典例4. （2022·青海玉树·高二期末（理））已知． (1)若，求的单调区间与极值； (2)若关于的方程在上有两个不同的实数根，求实数的取值范围． 参考数据： 典例5.（2022·山东菏泽·高三期中）已知函数，． (1)若，求的极值； (2)若在区间内有零点，求实数a的取值范围． 典例6. （2022·辽宁·高三期中）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)当a＝1时，若函数有两个零点，求实数t的取值范围． 【总结提升】 已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解 考向三 与零点相关的不等式恒成立或证明问题 【核心知识】 1.不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；② 数形结合( 图象在 上方即可)；③ 讨论最值或恒成立；④ 讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围. 2.含参数的不等式恒成立的处理方法：①的图象永远落在图象的上方；②构造函数法，一般构造，；③参变分离法，将不等式等价变形为，或，进而转化为求函数的最值. 3.利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求