专题05 数列放缩（精讲精练）-2023年高考数学二轮复习讲练测（新高考专用）

专题05 数列放缩 【命题规律】 数列放缩是高考重点考查的内容之一，数列与不等式综合热门难题（压轴题），有所降温，难度趋减，将稳定在中等偏难程度.此类问题往往从通项公式入手，若需要放缩也是考虑对通项公式进行变形；在放缩时，对通项公式的变形要向可求和数列的通项公式靠拢，常见的是向可裂项相消的数列与等比数列进行靠拢． 【核心考点目录】 核心考点一：先求和后放缩 核心考点二：裂项放缩 核心考点三：等比放缩 核心考点四：型不等式的证明 核心考点五：型不等式的证明 核心考点六：型不等式的证明 核心考点七：型不等式的证明 【真题回归】 1、（2022·全国·高考真题）已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)当时，，求a的取值范围； (3)设，证明：． 【解析】（1）当时，，则， 当时，，当时，， 故的减区间为，增区间为. （2）设，则， 又，设， 则， 若，则， 因为为连续不间断函数， 故存在，使得，总有， 故在为增函数，故， 故在为增函数，故，与题设矛盾. 若，则， 下证：对任意，总有成立， 证明：设，故， 故在上为减函数，故即成立. 由上述不等式有， 故总成立，即在上为减函数， 所以. 当时，有，     所以在上为减函数，所以. 综上，. （3）取，则，总有成立， 令，则， 故即对任意的恒成立. 所以对任意的，有， 整理得到：， 故 ， 故不等式成立. 2、（2022·全国·高考真题）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列． (1)求的通项公式； (2)证明：． 【解析】（1）∵，∴,∴, 又∵是公差为的等差数列， ∴,∴, ∴当时，， ∴, 整理得：, 即, ∴ ， 显然对于也成立， ∴的通项公式； （2） ∴ 3、（2021·天津·高考真题）已知是公差为2的等差数列，其前8项和为64．是公比大于0的等比数列，． （I）求和的通项公式； （II）记， （i）证明是等比数列； （ii）证明 【解析】（I）因为是公差为2的等差数列，其前8项和为64． 所以，所以， 所以； 设等比数列的公比为， 所以，解得（负值舍去）， 所以； （II）（i）由题意，， 所以， 所以，且， 所以数列是等比数列； （ii）由题意知，， 所以， 所以， 设， 则， 两式相减得， 所以， 所以. 4、（2021·全国·高考真题（文））设是首项为1的等比数列，数列满足．已知，，成等差数列． （1）求和的通项公式； （2）记和分别为和的前n项和．证明：． 【解析】（1）因为是首项为1的等比数列且，，成等差数列， 所以，所以， 即，解得，所以， 所以. （2）[方法一]：作差后利用错位相减法求和 ， ， ． 设，    ⑧ 则．     ⑨ 由⑧-⑨得． 所以． 因此． 故． [方法二]【最优解】：公式法和错位相减求和法 证明：由（1）可得， ，① ，② ①②得 ， 所以， 所以， 所以. [方法三]：构造裂项法 由（Ⅰ）知，令，且，即， 通过等式左右两边系数比对易得，所以． 则，下同方法二． [方法四]：导函数法 设， 由于， 则． 又， 所以 ，下同方法二． 【整体点评】本题主要考查数列的求和，涉及到等差数列的性质，错位相减法求数列的和，考查学生的数学运算能力，是一道中档题，其中证明不等式时采用作差法，或者作商法要根据式子得结构类型灵活选择，关键是要看如何消项化简的更为简洁. （2）的方法一直接作差后利用错位相减法求其部分和，进而证得结论； 方法二根据数列的不同特点，分别利用公式法和错位相减法求得,然后证得结论,为最优解； 方法三采用构造数列裂项求和的方法，关键是构造，使，求得的表达式，这是错位相减法的一种替代方法， 方法四利用导数方法求和，也是代替错位相减求和法的一种方法. 【方法技巧与总结】 常见放缩公式： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）； （9）； （10） ； （11） ； （12）； （13）． （14）． （15）二项式定理 ①由于， 于是 ②， ； ， （16）糖水不等式 若，则；若，则． 【核心考点】 核心考点一：先求和后放缩 例1．（2022·全国·模拟预测）己知为等比数列的前n项和，若，，成等差数列，且. (1)求数列的通项公式； (2)若，且数列的前n项和为，证明：. 【解析】（1）设数列的公比为q， 由，，成等差数列可得， 故，解得， 由可得， 解得，故，即数列的通项公式为. （2）由（1）可得， 故. 当时，取得最大值，当时， ， 故. 例2．（2022·江苏南京·模拟预测）记数列的前项和为，已知，. (1)求的通项公式； (2)记数列的前项和为，证明：. 【解析】（1）由，两边同时除以可得：， 故数列为以为公差的等差数列，则，即， 当时，， 将代入上式，可得，则满足上