第二编 专题三 小题专讲 第2讲 三角恒等变换与解三角形-【金版教程】2023高考文科数学大二轮专题复习冲刺方案全书word（老教材，全国统考版）

　　　第2讲　三角恒等变换与解三角形 「考情研析」　1.三角函数的化简与求值是高考的命题热点，其中关键是利用两角和与差、二倍角的正弦、余弦、正切公式等进行恒等变换，“角”的交换是三角恒等变换的核心．　2.正弦定理与余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查边、角、面积的计算及有关的范围问题． 1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 sin (α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β； cos (α±β)＝cos_αcos_β∓sin_αsin_β； tan (α±β)＝． 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝2sin_αcos_α； cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； tan2α＝； cos2α＝，sin2α＝． 3．辅助角公式 a sin α＋b cos α＝sin_(α＋φ)． 4．正弦定理 在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，则＝＝＝2R(2R为△ABC外接圆的直径)． 变形：a＝2R_sin_A，b＝2R_sin_B，c＝2R_sin_C． sin A＝，sin B＝，sin C＝． a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C． 5．余弦定理 a2＝b2＋c2－2bc_cos_A，b2＝a2＋c2－2ac_cos_B，c2＝a2＋b2－2ab_cos_C． 推论：cos A＝，cos B＝， cos C＝． 6．面积公式 S△ABC＝bc_sin_A＝ac_sin_B＝ab_sin_C． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 考向1 三角恒等变换与求值 例1　(1)(2022·四川省资阳市高三二诊)若＝sin 2θ，则sin 2θ＝(　　) A． B． C．－ D．－ 答案　B 解析　∵＝＝＝2(cos θ－sin θ)，∴2(cos θ－sin θ)＝sin 2θ，两边平方得4(1－sin 2θ)＝3sin22θ，解得sin2θ＝－2(舍去)或sin 2θ＝.故选B. (2)(2022·安徽省江淮十校高三第三次联考)已知tan ＝，则sin ＝(　　) A．－ B． C．－ D． 答案　A 解析　sin ＝2sin cos ＝2sin cos ＝2cos ＝－＝－＝－＝－.故选A. (3)若sin2α＝，sin (β－α)＝，且α∈，β∈，则α＋β的值是(　　) A． B． C．或 D．或 答案　A 解析　∵α∈，∴2α∈，∵sin 2α＝，∴2α∈，∴α∈且cos 2α＝－.又sin (β－α)＝，β∈，∴β－α∈，cos(β－α)＝－，∴cos (α＋β)＝cos [(β－α)＋2α]＝cos (β－α)cos 2α－sin (β－α)sin 2α＝×－×＝，又α＋β∈，∴α＋β＝.故选A. 　三角恒等变换要遵循的“三看”原则及“变角”技巧 (1)一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分；二看“函数名称”，是需进行“切化弦”还是“弦化切”等，从而确定使用的公式；三看“结构特征”，了解变式或化简的方向． (2)常见的“变角”技巧：α＝(α＋β)－β＝β－(β－α)，α＝[(α＋β)＋(α－β)]，＋α＝－，α＝－等，使用“变角”技巧时，应根据已知条件中的角，选择恰当变角技巧． 易错警示：求角问题要注意角的范围，要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小，避免产生增解． 1．(2022·泸州市高三第二次教学质量诊断性考试)已知sin ＝，则sin ＝(　　) A． B．－ C． D．－ 答案　A 解析　∵cos ＝cos ＝1－2sin2＝1－2×＝－，∴sin＝sin ＝－cos ＝－＝.故选A. 2．(2022·广东省广州市执信中学高三下学期2月月考)已知α，β∈(0，π)且tan α＝，cos β＝－，则α＋β＝(　　) A． B． C． D． 答案　B 解析　由α，β∈(0，π)且tan α＝，cos β＝－可知α为锐角，β为钝角，故sin β>0，sin β＝＝，tanβ＝＝－3，∴α∈，β∈，∴α＋β∈，∴tan (α＋β)＝＝＝－1，∴α＋β＝.故选B. 3．(2022·江西省九江市第二次高考模拟统一考试)已知锐角α满足4sin2α＋sin2α＝2，则cos 2α＝(　　) A．－ B． C． D．－ 答案　B 解析　由4sin2α＋sin2α＝2，得sin 2α＝2－4sin2α＝2(1－2sin2α)＝2cos2α，∵0<α<，∴0<2α<π，又sin 2α＝2cos 2α，